¿Existe un entero positivo $n$ tal que $n$ tiene exactamente 2000 divisores primos y $n$ divide a $2^n + 1$?

Para un entero positivo $n$, sea $d(n)$ el número de todos los divisores positivos de $n$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $d(n)^3=4n$.

Dos círculos $G_1$ y $G_2$ se intersectan en dos puntos $M$ y $N$. Sea $AB$ la línea tangente a estos círculos en $A$ y $B$, respectivamente, de modo que $M$ se encuentra más cerca de $AB$ que $N$. Sea $CD$ la línea paralela a $AB$ y que pasa por el punto $M$, con $C$ en $G_1$ y $D$ en $G_2$. Las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $E$; las líneas $AN$ y $CD$ se encuentran en $P$; las líneas $BN$ y $CD$ se encuentran en $Q$. Demuestra que $EP = EQ$.

Encuentre todos los enteros $n \ge 4$ con la siguiente propiedad: Cada campo de la tabla de $n \times n$ se puede pintar de blanco o negro de tal manera que cada cuadrado de esta tabla tenga el mismo color que exactamente los dos cuadrados adyacentes. (Los cuadrados son adyacentes si tienen exactamente un lado en común). ¿Cuántas coloraciones diferentes de los campos de la tabla de $6 \times 6$ cumplen las condiciones anteriores?

Dado un nonágono regular $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9$ con longitud de lado $1$ . Las diagonales $A_3A_7$ y $A_4A_8$ se intersecan en el punto $P$ . Encuentre la longitud del segmento $P A_1$ .

Encuentre todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros que satisfacen las ecuaciones $ a + b = c$ y $a^2 + b^3 = c^2$

Los puntos $D, E, F$ se encuentran respectivamente en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ del triángulo ABC tal que $F B = BD$ , $DC = CE$ , y las líneas $EF$ y $BC$ son paralelas. La tangente al círculo circunscrito del triángulo $DEF$ en el punto $F$ interseca la línea $AD$ en el punto $P$ . La bisectriz perpendicular del segmento $EF$ interseca el segmento $AC$ en $Q$ . Demuestre que las líneas $P Q$ y $BC$ son paralelas.

El número $2022$ está escrito en la pizarra. En cada paso, reemplazamos uno de los $2$ dígitos con el número $2022$ . Por ejemplo $$2022 \Rightarrow 2020222 \Rightarrow 2020220222 \Rightarrow ...$$ ¿Después de cuántos pasos se puede escribir en la pizarra un número divisible por $22$? Especifique todas las opciones.

Determine el mayor valor posible de la expresión $ab+bc+ 2ac$ para números reales no negativos $a, b, c$ cuya suma es $1$ .

Un entero $n\ge1$ es bueno si se satisface la siguiente propiedad: Si un entero positivo es divisible por cada uno de los nueve números $n + 1, n + 2, ..., n + 9$ , este también es divisible por $n + 10$ . ¿Cuántos enteros buenos son $n\ge 1$ ?