Sean $a$ y $b$ enteros positivos con la propiedad de que $\frac{a}{b} > \sqrt2$ . Demuestre que $$\frac{a}{b} - \frac{1}{2ab} > \sqrt2$$

Se da un pentágono convexo $ABCDE$ en el que $\angle A = 60^o$ , $\angle B = 100^o$ , $\angle C = 140^o$ . Demuestre que este pentágono se puede colocar en un círculo con un radio de $\frac23 AD$ .

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en números enteros: $$\begin{cases} x^2 = yz + 1 \ y^2 = zx + 1 \ z^2 = xy + 1 \end{cases}$$

Sea $n\ge 3$ . Suponga que $a_1, a_2, ... , a_n$ son $n$ números reales distintos en parejas. En términos de $n$ , encuentre el menor número posible de diferentes valores asumidos por los siguientes $n$ números: $$a_1 + a_2, a_2 + a_3,..., a_{n- 1} + a_n, a_n + a_1$$

Demuestre que en el plano de coordenadas es imposible dibujar una línea poligonal cerrada tal que (i) las coordenadas de cada vértice son racionales; (ii) la longitud de cada uno de sus lados es 1; (iii) la línea tiene un número impar de vértices.

Encuentra todos los números naturales $n$ para los cuales cada número natural cuya representación decimal tiene $n - 1$ dígitos $1$ y un dígito $7$ es primo.

Sea $p(x)$ un polinomio cúbico con coeficientes racionales. $q_1$, $q_2$, $q_3$, ... es una secuencia de racionales tal que $q_n = p(q_{n + 1})$ para todo $n$ positivo. Demuestre que para algún $k$, tenemos $q_{n + k} = q_n$ para todo $n$ positivo.

Sea $ {\mathbb Q}^ +$ el conjunto de los números racionales positivos. Construye una función $ f : {\mathbb Q}^ + \rightarrow {\mathbb Q}^ +$ tal que \[ f(xf(y)) = \frac {f(x)}{y} \] para todo $x$, $y$ en $ {\mathbb Q}^ +$.

Sean $w, x, y, z$ números reales no negativos tales que $wx + xy + yz + zw = 1$. Demuestra que $ \frac {w^3}{x + y + z} + \frac {x^3}{w + y + z} + \frac {y^3}{w + x + z} + \frac {z^3}{w + x + y}\geq \frac {1}{3}$.

Determina todos los enteros $n > 1$ tales que \[ \frac {2^n + 1}{n^2} \] es un entero.