Diez localidades son servidas por dos aerolíneas internacionales de tal manera que existe un servicio directo (sin paradas) entre dos de estas localidades y todos los horarios de las aerolíneas ofrecen servicio de viaje redondo entre las ciudades a las que sirven. Demuestra que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer dos viajes redondos disjuntos cada uno conteniendo un número impar de aterrizajes.

Sea $n$ un número natural compuesto y $p$ un divisor propio de $n$. Encuentra la representación binaria del número natural más pequeño $N$ tal que \[ \frac{(1 + 2^p + 2^{n-p})N - 1}{2^n}\] es un entero.

Demuestra que todo entero $ k$ mayor que 1 tiene un múltiplo que es menor que $ k^4$ y puede escribirse en el sistema decimal con a lo sumo cuatro dígitos diferentes.

Sea $ P$ un punto dentro de un tetraedro regular $ T$ de volumen unitario. Los cuatro planos que pasan por $ P$ y son paralelos a las caras de $ T$ particionan $ T$ en 14 piezas. Sea $ f(P)$ el volumen conjunto de aquellas piezas que no son ni un tetraedro ni un paralelepípedo (es decir, piezas adyacentes a una arista pero no a un vértice). Encuentra las cotas exactas para $ f(P)$ cuando $ P$ varía sobre $ T.$

Sean $ a, b \in \mathbb{N}$ con $ 1 \leq a \leq b,$ y $ M = \left[\frac {a + b}{2} \right].$ Define una función $ f: \mathbb{Z} \mapsto \mathbb{Z}$ por\n\[ f(n) = \begin{cases} n + a, & \text{si } n \leq M, \\\nn - b, & \text{si } n >M. \end{cases}\n\]\nSea $ f^1(n) = f(n),$ $ f_{i + 1}(n) = f(f^i(n)),$ $ i = 1, 2, \ldots$ Encuentra el número natural más pequeño $ k$ tal que $ f^k(0) = 0.$

Se hacen cubos unitarios en cuentas perforando un agujero a través de ellos a lo largo de una diagonal. Las cuentas se colocan en una cuerda de tal manera que puedan moverse libremente en el espacio bajo la restricción de que los vértices de dos cubos vecinos se toquen. Sea $ A$ el vértice inicial y $ B$ el vértice final. Sean $ p \times q \times r$ cubos en la cuerda $ (p, q, r \geq 1).$\n(a) Determina para qué valores de $ p, q,$ y $ r$ es posible construir un bloque con dimensiones $ p, q,$ y $ r.$ Da razones para tus respuestas.\n(b) La misma pregunta que (a) con la condición extra de que $ A = B.$

Demuestra que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades: \na.) Todos los ángulos son iguales.\nb.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $ 1^2$ , $ 2^2$ , $ 3^2$ , $ \cdots$ , $ 1990^2$ en algún orden.

Determinar para qué enteros positivos $k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede ser dividido en dos subconjuntos disjuntos $A$ y $B$ tales que la suma de los elementos de $A$ es igual a la suma de los elementos de $B.$

En el plano coordenado se da un rectángulo con vértices $ (0, 0),$ $ (m, 0),$ $ (0, n),$ $ (m, n)$ donde tanto $ m$ como $ n$ son enteros impares. El rectángulo se divide en triángulos de tal manera que (i) cada triángulo en la partición tiene al menos un lado (que se llamará un lado “bueno”) que se encuentra en una línea de la forma $ x = j$ o $ y = k,$ donde $ j$ y $ k$ son enteros, y la altitud en este lado tiene longitud 1; (ii) cada lado “malo” (es decir, un lado de cualquier triángulo en la partición que no es “bueno”) es un lado común de dos triángulos en la partición. Demostrar que existen al menos dos triángulos en la partición, cada uno de los cuales tiene dos lados buenos.

Un matemático excéntrico tiene una escalera con $n$ peldaños que siempre asciende y desciende de la siguiente manera: Cuando asciende, cada paso que da cubre $a$ peldaños de la escalera, y cuando desciende, cada paso que da cubre $b$ peldaños de la escalera, donde $a$ y $b$ son enteros positivos fijos. Mediante una secuencia de pasos ascendentes y descendentes puede subir desde el nivel del suelo hasta el peldaño superior de la escalera y volver a bajar al nivel del suelo. Hallar, con demostración, el valor mínimo de $n,$ expresado en términos de $a$ y $b.$