Sea $ABC$ un triángulo, y sean las bisectrices de los ángulos $CAB$ y $ABC$ que intersectan los lados $BC$ y $CA$ en los puntos $D$ y $F$, respectivamente. Las líneas $AD$ y $BF$ intersectan la línea que pasa por el punto $C$ paralela a $AB$ en los puntos $E$ y $G$ respectivamente, y tenemos $FG = DE$. Demostrar que $CA = CB$. Formulación original: Sea $ABC$ un triángulo y $L$ la línea que pasa por $C$ paralela al lado $AB$. Sea la bisectriz interna del ángulo en $A$ que intersecta el lado $BC$ en $D$ y la línea $L$ en $E$ y sea la bisectriz interna del ángulo en $B$ que intersecta el lado $AC$ en $F$ y la línea $L$ en $G$. Si $GF = DE,$ demostrar que $AC = BC.$

Sean $AB$ y $CD$ cuerdas de un círculo que se intersectan en un punto $E$ dentro del círculo. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La línea tangente en $E$ al círculo que pasa por $D$, $E$ y $M$ intersecta las líneas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] hallar $\frac {EG}{EF}$ en términos de $t$.

Un plano corta un cono circular recto de volumen $ V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altitud. Encuentre el volumen de la parte más pequeña. Formulación original: Un plano corta un cono circular recto en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altitud. Encuentre la razón del volumen de la parte más pequeña al volumen del cono entero.

El incentro del triángulo $ ABC$ es $ K.$ El punto medio de $ AB$ es $ C_1$ y el de $ AC$ es $ B_1.$ Las líneas $ C_1K$ y $ AC$ se encuentran en $ B_2,$ las líneas $ B_1K$ y $ AB$ en $ C_2.$ Si las áreas de los triángulos $ AB_2C_2$ y $ ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $ \angle CAB?$

Para un entero positivo dado $ k$ denotemos el cuadrado de la suma de sus dígitos por $ f_1(k)$ y sea $ f_{n+1}(k) = f_1(f_n(k)).$ Determine el valor de $ f_{1991}(2^{1990}).$

Sea $ f(0) = f(1) = 0$ y \[ f(n+2) = 4^{n+2} \cdot f(n+1) - 16^{n+1} \cdot f(n) + n \cdot 2^{n^2}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots\] Demuestre que los números $ f(1989), f(1990), f(1991)$ son divisibles por $ 13.$

Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternativamente de acuerdo con las siguientes reglas : I.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] es un primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador $ {\mathcal A}$ gana el juego al elegir el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana al elegir el número 1. ¿Para qué $ n_0$ : a.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora? b.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora? c.) ¿Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Dado un triángulo $ABC$. Sean $G$, $I$, $H$ el baricentro, el incentro y el ortocentro del triángulo $ABC$, respectivamente. Demuestre que $\angle GIH > 90^{\circ}$.

Asuma que el conjunto de todos los enteros positivos es descompuesto en $r$ subconjuntos (disjuntos) $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_r = \mathbb{N}.$ Demuestre que uno de ellos, digamos $A_i,$ tiene la siguiente propiedad: Existe un $m$ positivo tal que para cualquier $k$ uno puede encontrar números $a_1, a_2, \ldots, a_k$ en $A_i$ con $0 < a_{j + 1} - a_j \leq m,$ $ (1 \leq j \leq k - 1)$ .

Sea $n \geq 3$ y considere un conjunto $E$ de $2n - 1$ puntos distintos en un círculo. Suponga que exactamente $k$ de estos puntos están coloreados de negro. Tal coloración es buena si existe al menos un par de puntos negros tal que el interior de uno de los arcos entre ellos contiene exactamente $n$ puntos de $E$. Encuentre el valor más pequeño de $k$ tal que cada coloración de $k$ puntos de $E$ es buena.