Dados $n$ países con tres representantes cada uno, $m$ comités $A(1), A(2), \ldots, A(m)$ se llaman un ciclo si (i) cada comité tiene $n$ miembros, uno de cada país; (ii) no hay dos comités con la misma membresía; (iii) para $i = 1, 2, \ldots, m$, el comité $A(i)$ y el comité $A(i + 1)$ no tienen ningún miembro en común, donde $A(m + 1)$ denota $A(1);$ (iv) si $1 < |i - j| < m - 1,$ entonces los comités $A(i)$ y $A(j)$ tienen al menos un miembro en común. ¿Es posible tener un ciclo de 1990 comités con 11 países?

El entero $9$ puede ser escrito como la suma de dos enteros consecutivos: $9 = 4+5.$ Además, puede ser escrito como la suma de (más de uno) enteros positivos consecutivos exactamente de dos maneras: $9 = 4+5 = 2+3+4.$ ¿Existe un entero que pueda ser escrito como la suma de $1990$ enteros consecutivos y que pueda ser escrito como la suma de (más de uno) enteros positivos consecutivos exactamente de $1990$ maneras?

Sea $D$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $\angle A$ del triángulo $ABC$ . La línea recta que une los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ corta a $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestre que $BN$ y $CM$ se encuentran en la bisectriz $AD$ .

Un tetraedro regular de altura $h$ tiene un tetraedro de altura $xh$ cortado por un plano paralelo a la base. Cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras inclinadas en un plano horizontal, está a punto de caerse. (En otras palabras, cuando el tronco restante se coloca sobre una de sus caras inclinadas en un plano horizontal, la proyección del centro de gravedad G del tronco es un punto de la base menor de esta cara inclinada). Demuestre que $x$ es una raíz de la ecuación $x^3 + x^2 + x = 2$ .

Sea $A$ un conjunto finito de reales positivos, sea $B = \{x/y\mid x,y\in A\}$ y sea $C = \{xy\mid x,y\in A\}$ . Demuestre que $|A|\cdot|B|\le|C|^2$ .

Un polinomio mediterráneo tiene solo raíces reales y es de la forma \[ P(x) = x^{10}-20x^9+135x^8+a_7x^7+a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 ] con coeficientes reales $a_0\ldots,a_7$ . Determine el número real más grande que ocurre como raíz de algún polinomio mediterráneo.

Demuestra que hay infinitos enteros positivos $c$ , tales que las siguientes ecuaciones tienen soluciones en enteros positivos: $(x^2 - c)(y^2 -c) = z^2 -c$ y $(x^2 + c)(y^2 - c) = z^2 - c$ .

Determina todos los números primos $p_1, p_2,..., p_{12}, p_{13}, p_1 \le p_2 \le ... \le p_{12} \le p_{13}$ , tal que $p_1^2+ p_2^2+ ... + p_{12}^2 = p_{13}^2$ y uno de ellos es igual a $2p_1 + p_9$ .

Encuentra todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $(x + y)^2(x^2 + y^2) = 2009^2$.

Sean ${A, B, C}$ y ${O}$ cuatro puntos en el plano, tales que $\angle ABC>{{90}^{{}\circ }}$ y ${OA=OB=OC}$. Defina el punto ${D\in AB}$ y la recta ${l}$ tal que ${D\in l, AC\perp DC}$ y ${l\perp AO}$. La recta ${l}$ corta a ${AC}$ en ${E}$ y al circuncírculo de ${ABC}$ en ${F}$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos ${BEF}$ y ${CFD}$ son tangentes en ${F}$.