Dado un paralelogramo ${ABCD}$ con ángulo obtuso $\angle ABC$. Después de la rotación del triángulo ${ACD}$ alrededor del vértice ${C}$, obtenemos un triángulo ${CD'A'}$, tal que los puntos $B,C$ y ${D'}$ son colineales. Las extensiones de la mediana del triángulo ${CD'A'}$ que pasa por ${D'}$ interseca la línea recta ${BD}$ en el punto ${P}$. Demostrar que ${PC}$ es la bisectriz del ángulo $\angle BP{D'}$.

Un grupo de $n > 1$ piratas de diferente edad poseía un total de $2009$ monedas. Inicialmente, cada pirata (excepto el más joven) tenía una moneda más que el siguiente más joven.\na) Encuentre todos los valores posibles de $n$.\nb) Cada día se elegía a un pirata. El pirata elegido daba una moneda a cada uno de los otros piratas. Si $n = 7$, encuentre el mayor número posible de monedas que un pirata puede tener después de varios días.

Resuelva en enteros no negativos la ecuación $2^{a}3^{b} + 9 = c^{2}$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB+CD=BC+DE$ y $k$ un círculo con centro en el lado $AE$ que toca los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DE$ en los puntos $P$, $Q$, $R$ y $S$ (diferentes de los vértices del pentágono) respectivamente. Demuestre que las rectas $PS$ y $AE$ son paralelas.

a) ¿De cuántas maneras podemos leer la palabra SARAJEVO de la tabla a continuación, si está permitido saltar de una celda a una celda adyacente (por vértice o lado)? b) Después de que se eliminó la letra en una celda, solo quedaron $525$ formas de leer la palabra SARAJEVO. Encuentre todas las posiciones posibles de esa celda.

Cinco jugadores $(A,B,C,D,E)$ participan en un torneo de bridge. Cada dos jugadores deben jugar (como compañeros) contra cada otros dos jugadores. Dos jugadores dados pueden ser compañeros no más de una vez al día. ¿Cuál es el menor número de días necesarios para este torneo?

Cada uno de 2009 puntos distintos en el plano está coloreado de azul o rojo, de modo que en cada círculo unitario centrado en un punto azul hay exactamente dos puntos rojos. Encuentra el mayor número posible de puntos azules.

Sean $x,y,z$ números reales positivos. Demostrar que $(x^2+y+1)(x^2+z+1)(y^2+x+1)(y^2+z+1)(z^2+x+1)(z^2+y+1)\geq (x+y+z)^6$

Sean $ x$ , $ y$ , $ z$ números reales tales que $ 0 < x,y,z < 1$ y $ xyz = (1 - x)(1 - y)(1 - z)$ . Demuestre que al menos uno de los números $ (1 - x)y,(1 - y)z,(1 - z)x$ es mayor o igual a $ \frac {1}{4}$

Encuentre todos los valores del parámetro real $a$ , para los cuales el sistema $(|x| + |y| - 2)^2 = 1$ $y = ax + 5$ tiene exactamente tres soluciones