Encuentre el valor máximo de $z+x$ si $x,y,z$ satisfacen las condiciones dadas. $x^2+y^2=4$ $z^2+t^2=9$ $xt+yz\geq 6$

Determine todos los enteros $a, b, c$ que satisfacen las identidades: $a + b + c = 15$ $(a - 3)^3 + (b - 5)^3 + (c -7)^3 = 540$

El triángulo $ABC$ está inscrito en un círculo $\gamma$ de centro $O$ , con $AB < AC$ . Un punto $D$ en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ y un punto $E$ en el segmento $BC$ satisfacen que $OE$ es paralelo a $AD$ y $DE \perp BC$ . El punto $K$ se encuentra en la línea de extensión de $EB$ tal que $EA = EK$ . Un círculo que pasa por los puntos $A,K,D$ se encuentra con la línea de extensión de $BC$ en el punto $P$ , y se encuentra con el círculo de centro $O$ en el punto $Q\ne A$ . Demuestre que la línea $PQ$ es tangente al círculo $\gamma$ .

Sean $a, b, c, d$ cuatro números reales positivos. Demuestre que $$\frac{(a + b + c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{(b + c + d)^3}{b^3+c^3+d^3}+\frac{(c+d+a)^4}{c^4+d^4+a^4}+\frac{(d+a+b)^5}{d^5+a^5+b^5}\le 120$$

(a)\tDecida si existen dos dígitos decimales $a$ y $b$ , tales que todo entero con representación decimal $ab222 ... 231$ es divisible por $73$ . (b)\tDecida si existen dos dígitos decimales $c$ y $d$ , tales que todo entero con representación decimal $cd222... 231$ es divisible por $79$ .

Sea $S = \{1,..., 999\}$ . Determine el entero más pequeño $m$ para el cual existen $m$ tarjetas de dos caras $C_1$ , ..., $C_m$ con las siguientes propiedades: $\bullet$ Cada tarjeta $C_i$ tiene un entero de $S$ en un lado y otro entero de $S$ en el otro lado. $\bullet$ Para todo $x,y \in S$ con $x\ne y$ , es posible seleccionar una tarjeta $C_i$ que muestre $x$ en uno de sus lados y otra tarjeta $C_j$ (con $i \ne j$ ) que muestre $y$ en uno de sus lados.

Sean $p, q$ y $r$ tres líneas en el espacio tales que no hay ningún plano que sea paralelo a las tres. Demostrar que existen tres planos $\alpha, \beta$ , y $\gamma$ , que contienen a $p, q$ , y $r$ respectivamente, que son perpendiculares entre sí $(\alpha\perp\beta, \beta\perp\gamma, \gamma\perp \alpha).$

Determinar todas las ternas $(a, b, c)$ de números reales positivos tales que el sistema\n\[ax + by -cz = 0,\]\n\[a \sqrt{1-x^2}+b \sqrt{1-y^2}-c \sqrt{1-z^2}=0,\]\nes compatible en el conjunto de los números reales, y luego encontrar todas sus soluciones reales.

Sea $p$ un primo y $A = \{a_1, \ldots , a_{p-1} \}$ un subconjunto arbitrario del conjunto de números naturales tal que ninguno de sus elementos es divisible por $p$. Definamos una aplicación $f$ desde $\mathcal P(A)$ (el conjunto de todos los subconjuntos de $A$) al conjunto $P = \{0, 1, \ldots, p - 1\}$ de la siguiente manera: $(i)$ si $B = \{a_{i_{1}}, \ldots , a_{i_{k}} \} \subset A$ y $\sum_{j=1}^k a_{i_{j}} \equiv n \pmod p$ , entonces $f(B) = n,$ $(ii)$ $f(\emptyset) = 0$ , siendo $\emptyset$ el conjunto vacío. Demostrar que para cada $n \in P$ existe $B \subset A$ tal que $f(B) = n.$

Encontrar las relaciones entre los ángulos del triángulo $ABC$ cuya altitud $AH$ y mediana $AM$ satisfacen $\angle BAH = \angle CAM$.