Un tetraedro variable $ABCD$ tiene las siguientes propiedades: Sus longitudes de arista pueden cambiar, así como sus vértices, pero las aristas opuestas permanecen iguales $(BC = DA, CA = DB, AB = DC)$ ; y los vértices $A,B,C$ se encuentran respectivamente en tres esferas fijas con el mismo centro $P$ y radios $3, 4, 12$ . ¿Cuál es la longitud máxima de $PD$ ?

Sean $A,B,C,D$ cuatro puntos distintos arbitrarios en el espacio. $(a)$ Demostrar que usando los segmentos $AB +CD, AC +BD$ y $AD +BC$ , siempre es posible construir un triángulo $T$ que no es degenerado y no tiene ningún ángulo obtuso. $(b)$ ¿Qué deben satisfacer estos cuatro puntos para que el triángulo $T$ sea rectángulo?

Demostrar que es posible colocar $2n(2n + 1)$ piezas paralelepípedas (rectangulares) de jabón de dimensiones $1 \times 2 \times (n + 1)$ en una caja cúbica con arista $2n + 1$ si y sólo si $n$ es par o $n = 1$. Observación . Se asume que las aristas de las piezas de jabón son paralelas a las aristas de la caja.

Dada la expresión \[P_n(x) =\frac{1}{2^n}\left[(x +\sqrt{x^2 - 1})^n+(x-\sqrt{x^2 - 1})^n\right],\] demostrar: $(a) P_n(x)$ satisface la identidad \[P_n(x) - xP_{n-1}(x) + \frac{1}{4}P_{n-2}(x) \equiv 0.\] $(b) P_n(x)$ es un polinomio en $x$ de grado $n.$

Consideramos un punto fijo $P$ en el interior de una esfera fija. Construimos tres segmentos $PA, PB, PC$, perpendiculares dos a dos, con los vértices $A, B, C$ en la esfera. Consideramos el vértice $Q$ que es opuesto a $P$ en el paralelepípedo (con ángulos rectos) con $PA, PB, PC$ como aristas. Encontrar el lugar geométrico del punto $Q$ cuando $A, B, C$ toman todas las posiciones compatibles con nuestro problema.

Si $r > s >0$ y $a > b > c$ , demuestre que \[a^rb^s + b^rc^s + c^ra^s \ge a^sb^r + b^sc^r + c^sa^r.\]

En $ABC$ con $\angle C = 60^{\circ}$ , demuestre que \[\frac{c}{a} + \frac{c}{b} \ge2.\]

Si $p$ es un primo mayor que $3$, demuestre que al menos uno de los números \[\frac{3}{p^2} , \frac{4}{p^2} , \cdots, \frac{p-2}{p^2}\] es expresable en la forma $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ , donde $x$ e $y$ son enteros positivos.

$A,B,C,D,E$ son puntos en un círculo $O$ con radio igual a $r$. Las cuerdas $AB$ y $DE$ son paralelas entre sí y tienen una longitud igual a $x$. Se dibujan las diagonales $AC,AD,BE, CE$. Si el segmento $XY$ en $O$ se encuentra con $AC$ en $X$ y con $EC$ en $Y$, demuestre que las líneas $BX$ y $DY$ se encuentran en $Z$ en el círculo.

En un triángulo $ABC$ tenemos $AB = AC$. Un círculo que es internamente tangente con el círculo circunscrito del triángulo es también tangente a los lados $AB, AC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que el punto medio de $PQ$ es el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC$.