Sean $n, m$ enteros positivos. Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama $(n, m)$ - bueno, si: (1) $m \in S$ ; (2) para todo $a\in S$ , todos los divisores de $a$ también están en $S$ ; (3) para todos los $a, b \in S$ distintos , $a^n+b^n \in S$ . ¿Para qué $(n, m)$ , el único conjunto $(n, m)$ - bueno es $\mathbb{N}$ ?

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ , y el incírculo toca a $BC$ en $D$ . Los puntos $E, F$ son tales que $BE \parallel AI \parallel CF$ y $\angle BEI=\angle CFI=90^{\circ}$ . Si $DE, DF$ se encuentran con el incírculo en $E', F'$ , demuestre que $E'F' \perp AI$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n \geq 3$ , para los cuales es posible dibujar $n$ cuerdas en un círculo, con sus $2n$ puntos finales siendo distintos por pares, tales que cada cuerda interseca exactamente $k$ otras para: (a) $k=n-2$ , (b) $k=n-3$ .

Para cada par $(\alpha, \beta)$ de números reales no negativos con $\alpha+\beta \geq 2$ , determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , tales que $$f(x)f(y) \leq f(xy)+\alpha x+\beta y$$ para todos los reales $x, y$ .

Sea $\triangle ABC$ y $A'$ , $B'$ , $C'$ los simétricos del vértice sobre los lados opuestos. La intersección de las circunferencias circunscritas de $\triangle ABB'$ y $\triangle ACC'$ es $A_1$. $B_1$ y $C_1$ se definen de manera similar. Demuestra que las líneas $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ son concurrentes.

Sea $k>1$ un entero positivo y $n>2018$ un entero positivo impar. Los números racionales no nulos $x_1,x_2,\ldots,x_n$ no son todos iguales y: $$x_1+\frac{k}{x_2}=x_2+\frac{k}{x_3}=x_3+\frac{k}{x_4}=\ldots=x_{n-1}+\frac{k}{x_n}=x_n+\frac{k}{x_1}$$ Encuentra el valor mínimo de $k$, tal que las relaciones anteriores se cumplen.

Encuentra el número máximo $n$ de números de tres dígitos tales que: 1. Cada uno tiene una suma de dígitos de $9$. 2. Ninguno contiene el dígito $0$. 3. Cada $2$ tienen diferentes dígitos de unidades. 4. Cada $2$ tienen diferentes dígitos decimales. 5. Cada $2$ tienen diferentes dígitos de centenas.

Encuentra todos los enteros $m$ y $n$ tales que la quinta potencia de $m$ menos la quinta potencia de $n$ es igual a $16mn$.

Considera un triángulo $ABC$. Sea $S$ una circunferencia en el interior del triángulo que es tangente a los lados $BC$, $CA$, $AB$ en los puntos $D$, $E$, $F$ respectivamente. En el exterior del triángulo dibujamos tres circunferencias $S_A$, $S_B$, $S_C$. La circunferencia $S_A$ es tangente a $BC$ en $L$ y a la prolongación de las líneas $AB$, $AC$ en los puntos $M$, $N$ respectivamente. La circunferencia $S_B$ es tangente a $AC$ en $E$ y a la prolongación de la línea $BC$ en $P$. La circunferencia $S_C$ es tangente a $AB$ en $F$ y a la prolongación de la línea $BC$ en $Q$. Demuestra que las líneas $EP$, $FQ$ y $AL$ se encuentran en un punto de la circunferencia $S$.

Encuentra todos los números de $5$ dígitos no nulos tales que, al eliminar consecutivamente el dígito de la izquierda, en cada paso, obtenemos un divisor del número anterior.