Sean $a,b$ enteros coprimos. Demuestre que la ecuación $ax^2 + by^2 =z^3$ tiene un conjunto infinito de soluciones $(x,y,z)$ con $\{x,y,z\}\in\mathbb{Z}$ y cada par de $x,y$ mutuamente coprimos.

Considere las secuencias $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el entero más pequeño $m$ para el cual $b_m > a_{100}.$

Una secuencia infinita creciente de enteros positivos $n_j (j = 1, 2, \ldots )$ tiene la propiedad de que para un cierto $c$ , \[\frac{1}{N}\sum_{n_j\le N} n_j \le c,\] para cada $N >0$ . Demuestre que existen finitamente muchas secuencias $m^{(i)}_j (i = 1, 2,\ldots, k)$ tales que \[\{n_1, n_2, \ldots \} =\bigcup_{i=1}^k\{m^{(i)}_1 ,m^{(i)}_2 ,\ldots\}\] y \[m^{(i)}_{j+1} > 2m^{(i)}_j (1 \le i \le k, j = 1, 2,\ldots).\]

Sea un número real $\lambda > 1$ dado y una secuencia $(n_k)$ de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k}> \lambda$ para $k = 1, 2,\ldots$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse en más de $c$ formas de la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario y sean $S_1, S_2,\cdots, S_7$ círculos que satisfacen las siguientes condiciones: $S_1$ es tangente a $CA$ y $AB$, $S_2$ es tangente a $S_1, AB$ y $BC,$ $S_3$ es tangente a $S_2, BC$ y $CA,$ .............................. $S_7$ es tangente a $S_6, CA$ y $AB.$ Demuestre que los círculos $S_1$ y $S_7$ coinciden.

Sean $m$ enteros positivos $a_1, \dots , a_m$ dados. Demuestre que existen menos de $2^m$ enteros positivos $b_1, \dots , b_n$ tales que todas las sumas de $b_k$ distintos son distintas y todos los $a_i \ (i \leq m)$ ocurren entre ellos.

Sean dadas dos sucesiones de enteros $f_i(1), f_i(2), \cdots (i = 1, 2)$ que satisfacen: $(i) f_i(nm) = f_i(n)f_i(m)$ si $\gcd(n,m) = 1$ ; $(ii)$ para cada primo $P$ y todo $k = 2, 3, 4, \cdots$ , $f_i(P^k) = f_i(P)f_i(P^{k-1}) - P^2f(P^{k-2}).$ Además, para cada primo $P$ : $(iii) f_1(P) = 2P,$ $(iv) f_2(P) < 2P.$ Demuestre que $|f_2(n)| < f_1(n)$ para todo $n$ .

En el plano se da un círculo $C$ de radio unitario. Para cualquier recta $l$ , se define un número $s(l)$ de la siguiente manera: Si $l$ y $C$ se intersecan en dos puntos, $s(l)$ es su distancia; en caso contrario, $s(l) = 0$ . Sea $P$ un punto a distancia $r$ del centro de $C$ . Se define $M(r)$ como el valor máximo de la suma $s(m) + s(n)$ , donde $m$ y $n$ son rectas variables mutuamente ortogonales que pasan por $P$ . Determine los valores de $r$ para los cuales $M(r) > 2$ .

Dentro de un triángulo equilátero $ABC$ se construyen los puntos $P, Q$ y $R$ tales que \[\angle QAB = \angle PBA = 15^\circ,\ \angle RBC = \angle QCB = 20^\circ,\ \angle PCA = \angle RAC = 25^\circ.\] Determine los ángulos del triángulo $PQR.$

Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$ . $F$ es una colección de $16$ subconjuntos diferentes de $K$ , y se sabe que tres miembros cualesquiera de $F$ tienen al menos un elemento en común. Demuestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común.