En un cuadrilátero convexo $ABCD$, sea $P$ el punto de intersección de $AD$ y $BC$. Suponga que $I_1$ e $I_2$ son los incentros de los triángulos $PAB$ y $PDC$, respectivamente. Sea $O$ el circuncentro de $PAB$, y $H$ el ortocentro de $PDC$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AI_1B$ y $DHC$ son tangentes entre sí si y solo si las circunferencias circunscritas de los triángulos $AOB$ y $DI_2C$ son tangentes entre sí.

En el triángulo acutángulo $ABC$, la altura de $A$ se encuentra con $BC$ en $D$, y $M$ es el punto medio de $AC$. Suponga que $X$ es un punto tal que $\measuredangle AXB = \measuredangle DXM =90^\circ$ (asume que $X$ y $C$ se encuentran en lados opuestos de la línea $BM$). Demuestra que $\measuredangle XMB = 2\measuredangle MBC$.

Sean los círculos $\omega$ y $\omega^\prime$ que se intersectan en $A$ y $B$. La tangente al círculo $\omega$ en $A$ interseca a $\omega^\prime$ en $C$ y la tangente al círculo $\omega^\prime$ en $A$ interseca a $\omega$ en $D$. Suponga que $CD$ interseca a $\omega$ y $\omega^\prime$ en $E$ y $F$, respectivamente (asume que $E$ está entre $F$ y $C$). La perpendicular a $AC$ desde $E$ interseca a $\omega^\prime$ en el punto $P$ y la perpendicular a $AD$ desde $F$ interseca a $\omega$ en el punto $Q$ (Los puntos $A, P$ y $Q$ se encuentran en el mismo lado de la línea $CD$). Demuestra que los puntos $A, P$ y $Q$ son colineales.

Sean los círculos $\omega$ y $\omega'$ que se intersectan en los puntos $A$ y $B$. La tangente al círculo $\omega$ en $A$ interseca a $\omega'$ en $C$ y la tangente al círculo $\omega'$ en $A$ interseca a $\omega$ en $D$. Suponga que la bisectriz interna de $\angle CAD$ interseca a $\omega$ y $\omega'$ en $E$ y $F$, respectivamente, y la bisectriz externa de $\angle CAD$ interseca a $\omega$ y $\omega'$ en $X$ e $Y$, respectivamente. Demuestra que la bisectriz perpendicular de $XY$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BEF$.

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo rectángulo $ABC$ ($\angle A = 90^{\circ}$). La tangente a $\omega$ en el punto $A$ interseca la línea $BC$ en el punto $P$. Suponga que $M$ es el punto medio del arco menor $AB$, y $PM$ interseca a $\omega$ por segunda vez en $Q$. La tangente a $\omega$ en el punto $Q$ interseca a $AC$ en $K$. Demuestra que $\angle PKC = 90^{\circ}$.

Encuentra todos los enteros positivos $N$ tales que exista un triángulo que pueda ser dividido en $N$ cuadriláteros similares.

Sean dos círculos $C_1$ y $C_2$ que se intersectan en los puntos $A$ y $B$. La tangente a $C_1$ en $A$ interseca a $C_2$ en $P$ y la línea $PB$ interseca a $C_1$ por segunda vez en $Q$ (suponga que $Q$ está fuera de $C_2$). La tangente a $C_2$ desde $Q$ interseca a $C_1$ y $C_2$ en $C$ y $D$, respectivamente. (Los puntos $A$ y $D$ se encuentran en diferentes lados de la línea $PQ$.) Demuestra que $AD$ es la bisectriz de $\angle CAP$.

En el trapecio $ABCD$ con $AB || CD$, $\omega_1$ y $\omega_2$ son dos círculos con diámetros $AD$ y $BC$, respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos arbitrarios en $\omega_1$ y $\omega_2$, respectivamente. Demuestra que la longitud del segmento $XY$ no es más de la mitad del perímetro de $ABCD$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con estas propiedades: $\angle ADC = 135^o$ y $\angle ADB - \angle ABD = 2\angle DAB = 4\angle CBD$. Si $BC = \sqrt2 CD$, demuestra que $AB = BC + AD$.

En un triángulo rectángulo $ABC$ ($\angle A = 90^o$), la bisectriz perpendicular de $BC$ interseca la línea $AC$ en $K$ y la bisectriz perpendicular de $BK$ interseca la línea $AB$ en $L$. Si la línea $CL$ es la bisectriz interna del ángulo $C$, encuentra todos los valores posibles para los ángulos $B$ y $C$.