Sea $A$ el subconjunto más grande de $\{1,\dots,n\}$ tal que para cada $x\in A$, $x$ divide a lo sumo a otro elemento en $A$. Demuestra que \[\frac{2n}3\leq |A|\leq \left\lceil \frac{3n}4\right\rceil. ]

En el triángulo $ABC$, $M$ es el punto medio de $AC$ y $D$ es un punto en $BC$ tal que $DB=DM$. Sabemos que $2BC^{2}-AC^{2}=AB.AC$. Demuestra que \[BD.DC=\frac{AC^{2}.AB}{2(AB+AC)}\]

$p$ es un número primo impar. Encontrar todas las $\frac{p-1}2$ - tuplas $\left(x_1,x_2,\dots,x_{\frac{p-1}2}\right)\in \mathbb{Z}_p^{\frac{p-1}2}$ tal que\n$$\sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2}} x_{i} \equiv \sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2}} x_{i}^{2} \equiv \cdots \equiv \sum_{i = 1}^{\frac{p-1}{2}} x_{i}^{\frac{p - 1}{2}} \pmod p.$$\n

Para cada entero positivo $k>1$ demostrar que existe un número real $x$ tal que para cada entero positivo $n<1398$ :\n$$\left\{x^n\right\}<\left\{x^{n-1}\right\} \Longleftrightarrow k\mid n.$$\n

Sea $ABC$ un triángulo isósceles ( $AB=AC$ ) con incentro $I$ . El círculo $\omega$ pasa por $C$ e $I$ y es tangente a $AI$ . $\omega$ interseca $AC$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $Q$ y $D$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $AB$ y $N$ el punto medio de $CQ$ . Demostrar que $AD$ , $MN$ y $BC$ son concurrentes.

Dado un triángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Los puntos $E$ y $F$ son los pies de las bisectrices de los ángulos $B$ y $C$ , $I$ es el incentro y $K$ es la intersección de $AI$ y $EF$ . Supongamos que $T$ sea el punto medio del arco $BAC$ . El círculo $\Gamma$ interseca la $A$ - mediana y la circunferencia circunscrita de $AEF$ por segunda vez en $X$ y $S$ . Sea $S'$ la reflexión de $S$ a través de $AI$ y $J$ sea la segunda intersección de la circunferencia circunscrita de $AS'K$ y $AX$ . Demostrar que el cuadrilátero $TJIX$ es cíclico.

Alice y Bob toman turnos alternativamente en un tablero de $2020\times2020$ con Alice comenzando el juego. En cada movimiento cada persona colorea una celda que no ha sido coloreada aún y será recompensada con tantos puntos como las celdas coloreadas en la misma fila y columna. Cuando la tabla es coloreada completamente, los puntos determinan al ganador. ¿Quién tiene la estrategia ganadora y cuál es la máxima diferencia que puede garantizar?

Llamamos a un polinomio mónico $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ libre de cuadrados módulo n si no existen polinomios $Q(x),R(x) \in \mathbb{Z}[x]$ con $Q$ siendo no constante y $P(x) \equiv Q(x)^2 R(x) \mod n$ . Dado un primo $p$ y un entero $m \geq 2$ . Encontrar el número de polinomios mónicos libres de cuadrados mod p $P(x)$ con grado $m$ y coeficientes en $\{0,1,2,3,...,p-1\}$ .

¿Existen seis puntos $X_1,X_2,Y_1, Y_2,Z_1,Z_2$ en el plano tales que todos los triángulos $X_iY_jZ_k$ son similares para $1\leq i, j, k \leq 2$?

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, las líneas $AB$ y $CD$ se encuentran en el punto $E$ y las líneas $AD$ y $BC$ se encuentran en el punto $F$. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Suponga que $\omega_1$ es un círculo que pasa por $D$ y es tangente a $AC$ en $P$. También suponga que $\omega_2$ es un círculo que pasa por $C$ y es tangente a $BD$ en $P$. Sea $X$ el punto de intersección de $\omega_1$ y $AD$, e $Y$ el punto de intersección de $\omega_2$ y $BC$. Suponga que los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersectan entre sí en $Q$ por segunda vez. Demuestra que la perpendicular desde $P$ a la línea $EF$ pasa por el circuncentro del triángulo $XQY$.