Suponga que $ABCD$ es un cuadrilátero convexo sin lados paralelos. Construye un paralelogramo en cada dos lados consecutivos. Demuestra que entre estos $4$ nuevos puntos, solo hay un punto dentro del cuadrilátero $ABCD$.

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ con $AC > AB$. Sea $X$ un punto en $AC$ e $Y$ un punto en el círculo $\omega$, tal que $CX = CY = AB$. (Los puntos $A$ e $Y$ se encuentran en diferentes lados de la línea $BC$). La línea $XY$ interseca a $\omega$ por segunda vez en el punto $P$. Demuestra que $PB = PC$.

Ali quiere moverse desde el punto $A$ hasta el punto $B$. No puede caminar dentro de las áreas negras, pero es libre de moverse en cualquier dirección dentro de las áreas blancas (no solo las líneas de la cuadrícula, sino todo el plano). Ayuda a Ali a encontrar el camino más corto entre $A$ y $B$. Solo dibuja el camino y escribe su longitud.

Se da una tabla de $30\times30$. Queremos colorear algunos de sus cuadrados unitarios tal que cualquier cuadrado coloreado tenga a lo sumo $k$ vecinos. (Dos cuadrados $(i,j)$ y $(x,y)$ son llamados vecinos si $i-x,j-y\equiv0,-1,1 \pmod {30}$ y $(i,j)\neq(x,y)$ . Por lo tanto, cada cuadrado tiene exactamente $8$ vecinos) ¿Cuál es el número máximo posible de cuadrados coloreados si : $a) k=6$ $b)k=1$

Se da una tabla de $100 \times 100$. Al principio, cada cuadrado unitario tiene el número $‘0’$ escrito en ellos. Dos jugadores juegan un juego y el juego se detiene después de $200$ pasos (cada jugador juega $100$ pasos). En cada paso, uno puede elegir una fila o una columna y sumar $1$ al número escrito en todos sus cuadrados $\pmod 3.$ El primer jugador es el ganador si más de la mitad de los cuadrados ( $5000$ cuadrados) tienen el número $‘1’$ escrito en ellos, El segundo jugador es el ganador si más de la mitad de los cuadrados ( $5000$ cuadrados) tienen el número $‘0’$ escrito en ellos. De lo contrario, el juego es empate. Asume que ambos jugadores juegan de la mejor manera posible. ¿Cuál será el resultado del juego ?

En una elección, hay $1395$ candidatos y algunos votantes. Cada votante, ordena todos los candidatos por el orden de prioridad. Formamos un grafo dirigido con $1395$ vértices, una flecha es dirigida desde $U$ hacia $V$ cuando el candidato $U$ está en un nivel más alto de prioridad que $V$ en más de la mitad de los votos. (de lo contrario, no hay arista entre $U,V$ ) ¿Es posible generar todos los grafos dirigidos completos con $1395$ vértices?

Una secuencia $P=\left \{ a_{n} \right \}$ es llamada una $\text{Permutación}$ de números naturales (enteros positivos) si para cualquier número natural $m,$ existe un único número natural $n$ tal que $a_n=m.$ También definimos $S_k(P)$ como: $S_k(P)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}$ (la suma de los primeros $k$ elementos de la secuencia). Demuestra que existen infinitas $\text{Permutaciones}$ distintas de números naturales como $P_1,P_2, \cdots$ tal que $:$ $$\forall k, \forall i<j: S_k(P_i)|S_k(P_j)$$

Llamamos a una función $g$ especial si $g(x)=a^{f(x)}$ (para todo $x$ ) donde $a$ es un entero positivo y $f$ es un polinomio con coeficientes enteros tal que $f(n)>0$ para todos los enteros positivos $n$ . Una función es llamada un polinomio exponencial si es obtenida de el producto o suma de funciones especiales. Por ejemplo, $2^{x}3^{x^{2}+x-1}+5^{2x}$ es un polinomio exponencial. Demuestra que no existe un polinomio exponencial no cero $f(x)$ y un polinomio no constante $P(x)$ con coeficientes enteros tal que $$P(n)|f(n)$$ para todos los enteros positivos $n$ .

Sean $p,q$ números primos ( $q$ es impar). Demuestra que existe un entero $x$ tal que: $$q |(x+1)^p-x^p$$ Si y solo si $$q \equiv 1 \pmod p$$

Dado el triángulo $\triangle ABC$ y sean $D,E,F$ los pies de las bisectrices de los ángulos de $A,B,C$ ,respectivamente. $M,N$ yacen en $EF$ tal que $AM=AN$ . Sea $H$ el pie de la $A$ - altura en $BC$ . Los puntos $K,L$ yacen en $EF$ tal que los triángulos $\triangle AKL, \triangle HMN$ son correspondientemente similares (con el orden dado de vértices) tal que $AK \not\parallel HM$ y $AK \not\parallel HN$ . Muestra que: $DK=DL$