Dado $\triangle ABC$ inscrito en $(O)$ y sean $I$ e $I_a$ su incentro y $A$ - excentro ,respectivamente. Las líneas tangentes a $(O)$ en $C,B$ intersecan la bisectriz del ángulo de $A$ en $M,N$ ,respectivamente. Las segundas líneas tangentes a través de $M,N$ intersecan a $(O)$ en $X,Y$ . Demuestra que $XYII_a$ es cíclico.

En el triángulo $ABC$, $w$ es un círculo que pasa a través de $B,C$ e interseca a $AB,AC$ en $E,F$ respectivamente. $BF,CE$ intersecan la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $B',C'$ respectivamente. Sea $A'$ un punto en $BC$ tal que $\angle C'A'B=\angle B'A'C$ . Demuestra que si cambiamos $w$ , entonces todas las circunferencias circunscritas de los triángulos $A'B'C'$ pasan a través de un punto común.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb {R}^{+} \rightarrow \mathbb {R}^{+} $ tales que para todos los números reales positivos $x,y:$ $$f(y)f(x+f(y))=f(x)f(xy)$$

Sean $a,b,c \in \mathbb {R}^{+}$ y $abc=1$ prueba que: $\frac {a+b}{(a+b+1)^2}+\frac {b+c}{(b+c+1)^2}+\frac {c+a}{(c+a+1)^2} \geq \frac {2}{a+b+c}$

Sea $P(x) \in \mathbb {Z}[X]$ un polinomio de grado $2016$ sin raíces racionales. Demuestra que existe un polinomio $T(x) \in \mathbb {Z}[X]$ de grado $1395$ tal que para todas las raíces distintas (no necesariamente reales) de $P(x)$ como $(\alpha ,\beta):$ $$T(\alpha)-T(\beta) \not \in \mathbb {Q}$$ Nota: $\mathbb {Q}$ es el conjunto de números racionales.

Hay $24$ robots en el plano. Cada robot tiene un campo de visión de $70^{\circ}$. ¿Cuál es el número máximo de relaciones de observación? (Observar es una relación unilateral)

¿Es posible dividir una tabla de $7\times7$ en pocas partes $\text{conectadas}$ de celdas con el mismo perímetro? ( Un grupo de celdas es llamado $\text{conectado}$ si cualquier celda en el grupo, puede alcanzar otras celdas pasando a través de los lados de las celdas.)

Encuentra el número de todas las $\text{permutaciones}$ de $\left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}$ como $p$ tal que existe un único $i \in \left \{ 1,2,\cdots ,n \right \}$ que : $$p(p(i)) \geq i$$

Sea $m$ un entero positivo. El entero positivo $a$ es llamado un residuo dorado módulo $m$ si $\gcd(a,m)=1$ y $x^x \equiv a \pmod m$ tiene una solución para $x$ . Dado un entero positivo $n$ , supón que $a$ es un residuo dorado módulo $n^n$ . Demuestra que $a$ es también un residuo dorado módulo $n^{n^n}$ .

Sea $P$ un polinomio con coeficientes enteros. Decimos que $P$ es bueno si existen infinitos números primos $q$ tales que el conjunto $$X=\left\{P(n) \mod q : \quad n\in \mathbb N\right\}$$ tiene al menos $\frac{q+1}{2}$ miembros. Demuestra que el polinomio $x^3+x$ es bueno.