$C$ es el círculo unitario en algún plano. $R$ es un cuadrado con lado $a$. $C$ está fijo y $R$ se mueve (sin rotación) en el plano, de tal manera que su centro permanece dentro de $C$ (incluyendo los límites). Encuentre el valor máximo del área dibujada por el rastro de $R$.

Recuerde que $[x]$ denota el entero más grande que no excede a $x$ para real $x$. Para enteros $a, b$ en el intervalo $1 \leq a<b \leq 100$, encuentre el número de pares ordenados $(a, b)$ que satisfacen la siguiente ecuación. $$\left[a+\frac{b}{a}\right]=\left[b+\frac{a}{b}\right]$$

Se dan tres enteros. $A$ denota la suma de los enteros, $B$ denota la suma del cuadrado de los enteros y $C$ denota la suma de los cubos de los enteros (es decir, si los tres enteros son $x, y, z$, entonces $A=x+y+z$, $B=x^2+y^2+z^2$, $C=x^3+y^3+z^3$). Si $9A \geq B+60$ y $C \geq 360$, encuentre $A, B, C$.

Existe un punto $O$ dentro de un cuadrilátero convexo $ABCD$ que satisface $OA=OB$ y $OC=OD$, y $\angle AOB = \angle COD=90^{\circ}$. Considere dos cuadrados, (1) el cuadrado que tiene a $AC$ como un lado y está ubicado en el lado opuesto de $B$ y (2) el cuadrado que tiene a $BD$ como un lado y está ubicado en el lado opuesto de $E$. Si la parte común de estos dos cuadrados es también un cuadrado, pruebe que $ABCD$ es un cuadrilátero inscrito.

Para enteros positivos $a,b,c,d$ hay $a+b+c+d$ puntos en el plano de los cuales ninguno de los tres son colineales. Demuestra que existen dos líneas $l_1, l_2$ tales que (1) $l_1, l_2$ no son paralelas. (2) $l_1, l_2$ no pasan por ninguno de los $a+b+c+d$ puntos. (3) Hay $a, b, c, d$ puntos en cada región separada por las dos líneas $l_1, l_2$.

Para un entero positivo $k$, define las sucesiones de enteros $\{ b_n \}, \{ c_n \}$ como sigue: \[ b_1 = c_1 = 1 \] \[ b_{2n} = kb_{2n-1} + (k-1)c_{2n-1}, c_{2n} = b_{2n-1} + c_{2n-1} \] \[ b_{2n+1} = b_{2n} + (k-1)c_{2n}, c_{2n+1} = b_{2n} + kc_{2n} \] Sea $a_k = b_{2014}$. Encuentra el valor de \[ \sum_{k=1}^{100} { (a_k - \sqrt{{a_k}^2-1} )^{ \frac{1}{2014}} }\]

Sea $ O $ el circuncentro del triángulo $ABC$. Para un punto $P$ en el segmento $BC$, el círculo que pasa por $P, B$ y es tangente a la línea $AB$ y el círculo que pasa por $P, C$ y es tangente a la línea $AC$ se intersecan en el punto $Q (\ne P)$. Sean $ D, E $ los pies de las perpendiculares desde $Q$ a $AB, AC$. ($D \ne B, E \ne C$) Las líneas $DE$ y $BC$ se intersecan en el punto $R$. Demuestra que $ O, P, Q $ son colineales si y solo si $ A, R, Q $ son colineales.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ que satisfacen \[ f(mn) = \operatorname{mcm} (m,n) \cdot \gcd( f(m), f(n) ) \] para todos los enteros positivos $m,n$.

$\{a_n\}$ es una sucesión de enteros positivos tal que $ a_{i+2} = a_{i+1} + a_{i} (i \ge 1) $. Para un entero positivo $n$, define $\{b_n\}$ como \[ b_n = \frac{1}{a_{2n+1}} \sum_{i=1}^{4n-2} { a_i } \] Demuestra que $b_n$ es un entero positivo, y encuentra la forma general de $b_n$.

Demuestra que existe un polinomio mónico $f(x)$ de grado 6 y con coeficientes enteros tal que (1) Para todo entero $m$, $f(m) \ne 0$. (2) Para todo entero impar positivo $n$, existe un entero positivo $k$ tal que $f(k)$ es divisible por $n$.