Dado un primo impar $p$ , encontrar todas las funciones $f:Z \rightarrow Z$ que satisfacen las siguientes dos condiciones:\n(i) $f(m)=f(n)$ para todo $m,n \in Z$ tal que $m\equiv n\pmod p$ ;\n(ii) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todo $m,n \in Z$ .

$f$ es una función desde el conjunto de enteros positivos al conjunto de todos los enteros que satisface lo siguiente. $\cdot$ $f(1)=1, f(2)=-1$ $\cdot$ $f(n)+f(n+1)+f(n+2)=f(\left\lfloor\frac{n+2}{3}\right\rfloor)$ Encuentra el número de enteros positivos $k$ que no exceden de $1000$ tales que $f(3)+f(6)+\cdots+f(3k-3)+f(3k)=5$.

Sea $A_k$ el número de pares $(a_1, a_2, ..., a_{2k})$ para $k\leq 50$, donde $a_1, a_2, ..., a_{2k}$ son todos enteros positivos diferentes que satisfacen lo siguiente. $\cdot$ $a_1, a_2, ..., a_{2k} \leq 100$ $\cdot$ Para un número impar menor o igual que $2k-1$, tenemos $a_i > a_{i+1}$ $\cdot$ Para un número par menor o igual que $2k-2$, tenemos $a_i < a_{i+1}$ Demuestra que $A_1 \leq A_2 \leq \cdots \leq A_{49}$.

Encuentra todos los pares $(n, p)$ que satisfacen la siguiente condición, donde $n$ es un entero positivo y $p$ es un número primo. Condición) $2n-1$ es un divisor de $p-1$ y $p$ es un divisor de $4n^2+7$.

$ABC$ es un triángulo rectángulo con $\angle C$ el ángulo recto. $X$ es algún punto dentro de $ABC$ que satisface $CA=AX$. Sea $D$ el pie de la altitud desde $C$ hasta $AB$, e $Y(\neq X)$ el punto de intersección de $DX$ y la circunferencia circunscrita de $ABX$. Demuestra que $AX=AY$.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que existan enteros positivos $(a,b)$ tales que $(a^n + b^n)/n!$ es un entero positivo menor que 101

El triángulo acutángulo $ABC$ satisface $\angle A > \angle C$. Sean $D, E, F$ los puntos en los que la circunferencia inscrita del triángulo se interseca con $BC, CA, AB$, respectivamente, y $P$ algún punto en $AF$ diferente de $F$. La bisectriz del ángulo $\angle ABC$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $PQR$ $O$ en $L, R$. $L$ es el punto más cercano a $B$ que $R$. $O$ se encuentra con $DF, DR$ en el punto $Q(\neq F, L), S(\neq R)$ respectivamente, y $PS$ golpea el segmento $BC$ en $T$. Demuestra que $T, Q, L$ son colineales.

$99$ puntos diferentes $P_1, P_2, ..., P_{99}$ están marcados en el círculo $O$. Para cada $P_i$, define $n_i$ como el número de puntos marcados que encuentras comenzando desde $P_i$ hasta su antípoda, moviéndose en el sentido de las agujas del reloj. Demuestra la siguiente desigualdad. $$n_1+n_2+\cdots+n_{99} \leq \frac{99\cdot 98}{2}+49=4900$$

Encuentra el número de pares de enteros positivos $(x, y, z)$ tales que $$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+3}=\frac{11}{12}$$

Determine todas las tripletas de enteros positivos $(p,m,n)$ tales que $p$ es un primo, $m \neq n < 2p$ y $2 \nmid n$ . Además, el siguiente polinomio es reducible en $\mathbb{Z}[x]$ $$x^{2p} - 2px^m - p^2x^n - 1$$