$ABC$ es un triángulo tal que $AC<AB<BC$ y $D$ es un punto en el lado $AB$ que satisface $AC=AD$ . La circunferencia circunscrita de $ABC$ se encuentra con la bisectriz del ángulo $A$ de nuevo en $E$ y se encuentra con $CD$ de nuevo en $F$ . $K$ es un punto de intersección de $BC$ y $DE$ . Demostrar que $CK=AC$ es una condición necesaria y suficiente para $DK \cdot EF = AC \cdot DF$ .

Encontrar el valor máximo de la siguiente expresión, si $a,b,c$ son no negativos y $a+b+c=1$ . \[ \frac{1}{a^2 -4a+9} + \frac {1}{b^2 -4b+9} + \frac{1}{c^2 -4c+9} \]

Hay $n$ niños $a_1, a_2, \ldots, a_n$ y $n$ niñas $b_1, b_2, \ldots, b_n $ . Algunos pares de ellos están conectados. Ningún par de niños o dos niñas están conectados, y $a_i$ y $b_i$ no están conectados para todo $i \in \{ 1,2,\ldots,n\}$ . Ahora todos los niños y niñas se dividen en varios grupos que satisfacen dos condiciones: (i) Cada grupo contiene un número igual de niños y niñas. (ii) No hay ningún par conectado en el mismo grupo. Asumir que el número de pares conectados es $m$ . Mostrar que podemos hacer que el número de grupos no sea mayor que $\max\left \{2, \dfrac{2m}{n} +1\right \}$ .

$ABC$ es un triángulo acutángulo. $P$ ( diferente de $B,C$ ) es un punto en el lado $BC$ . $H$ es un ortocentro, y $D$ es el pie de la perpendicular desde $H$ a $AP$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ y $ACD$ es $O _1$ y $O_2$ , respectivamente. Una línea $l$ paralela a $BC$ pasa por $D$ y se encuentra con $O_1$ y $O_2$ de nuevo en $X$ e $Y$ , respectivamente. $l$ se encuentra con $AB$ en $E$ , y $AC$ en $F$ . Dos líneas $XB$ e $YC$ se intersecan en $Z$ . Demostrar que $ZE=ZF$ es una condición necesaria y suficiente para $BP=CP$ .

Demostrar que no existen enteros positivos $x,y,z$ que satisfagan \[ x^2 y^4 - x^4 y^2 + 4x^2 y^2 z^2 +x^2 z^4 -y^2 z^4 =0 \]

Para un entero positivo $n \ge 5$ , sean $a_i,b_i (i = 1,2, \cdots ,n)$ enteros que satisfacen las siguientes dos condiciones:\n(a) Los pares $(a_i,b_i)$ son distintos para $i = 1,2,\cdots,n$ ;\n(b) $|a_1b_2-a_2b_1| = |a_2b_3-a_3b_2| = \cdots = |a_nb_1-a_1b_n| = 1$ .\nDemostrar que existen índices $i,j$ tales que $1<|i-j|<n-1$ y $|a_ib_j-a_jb_i|=1$ .

En un triángulo $ABC$ con $\angle B < 45^{\circ}$ , $D$ es un punto en $BC$ tal que el incentro de $\triangle ABD$ coincide con el circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ . Sea $P$ el punto de intersección de las líneas tangentes a la circunferencia circunscrita $\omega$ de $\triangle AOC$ en los puntos $A$ y $C$ . Las líneas $AD$ y $CO$ se encuentran en $Q$ . La tangente a $\omega$ en $O$ se encuentra con $PQ$ en $X$ . Demostrar que $XO=XD$ .

Para enteros positivos dados $n$ y $N$ , sea $P_n$ el conjunto de todos los polinomios $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ con coeficientes enteros tales que:\n(a) $|a_j| \le N$ para $j = 0,1, \cdots ,n$ ;\n(b) El conjunto $\{ j \mid a_j = N\}$ tiene a lo sumo dos elementos.\nEncuentra el número de elementos del conjunto $\{f(2N) \mid f(x) \in P_n\}$ .

Sean $x_1,x_2, \cdots,x_n$ e $y_1,y_2, \cdots ,y_n$ números reales arbitrarios que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2=1$ . Probar que \n\[(x_1y_2-x_2y_1)^2 \le 2\left|1-\sum_{k=1}^n x_ky_k\right|\]\ny encontrar todos los casos de igualdad.

Sea $P$ un punto dado dentro de un cuadrilátero convexo $O_1O_2O_3O_4$ . Para cada $i = 1,2,3,4$ , considere las líneas $l$ que pasan por $P$ y se encuentran con los rayos $O_iO_{i-1}$ y $O_iO_{i+1}$ (donde $O_0 = O_4$ y $O_5 = O_1$ ) en puntos distintos $A_i(l)$ y $B_i(l)$ , respectivamente. Denotamos $f_i(l) = PA_i(l) \cdot PB_i(l)$ . Entre todas esas líneas $l$ , sea $l_i$ la que minimiza $f_i$ . Demostrar que si $l_1 = l_3$ y $l_2 = l_4$ , entonces el cuadrilátero $O_1O_2O_3O_4$ es un paralelogramo.