$p(x)$ es un polinomio irreducible con coeficientes enteros, y $q$ es un número primo fijo. Sea $a_n$ el número de soluciones de la ecuación $p(x)\equiv 0\mod q^n$. Demuestra que podemos encontrar $M$ tal que $\{a_n\}_{n\ge M}$ es constante.

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen lo siguiente. $f(xf(y)+yf(z)+zf(x))=yf(x)+zf(y)+xf(z)$

Dado un entero $n\geq 3$. Para cada cuadrado de $3\times3$ en la cuadrícula, llama a este cuadrado de $3\times3$ aislado si el cuadrado unitario central es blanco y los otros 8 cuadrados son negros, o el cuadrado unitario central es negro y los otros 8 cuadrados son blancos. Ahora supón que uno puede pintar una cuadrícula infinita con blanco o negro, de modo que uno pueda seleccionar un rectángulo de $a\times b$ que contenga al menos $n^2-n$ cuadrados de $3\times 3$ aislados. Encuentra el mínimo de $a+b$ para que tal cosa pueda suceder. (Ten en cuenta que $a,b$ son reales positivos, y el rectángulo de $a\times b$ seleccionado puede tener lados no paralelos a la línea de la cuadrícula infinita.)

Hay un círculo $\omega$ y $A, B$ en él. El círculo $\gamma_1$ es tangente a $\omega$ en $T$ y $AB$ en $D$. El círculo $\gamma_2$ es tangente a $\omega$ en $S$ y $AB$ en $E$. (como en la figura de abajo) Sea $AB\cap TS=C$. Demuestra que $CA=CB$ si y solo si $CD=CE$

$n$ es un número natural mayor que $3$ y denotamos todos los números coprimos positivos con $n$ como $1= b_1 < b_2 < \cdots b_k$. Para un entero positivo $m$ que es mayor que $3$ y es coprimo con $n$, sea $A$ el conjunto de tuplas $(a_1,a_2, \cdots a_k)$ que satisfacen la condición.\n$$\textbf{Condición}: \text{Para todos los enteros } i, 0 \le a_i < m \text{ y } a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots a_kb_k \text{ es un múltiplo de } n$$\nPara los elementos de $A$, demuestre que la diferencia del número de elementos tales que $a_1 = 1$ y el número de elementos tales que $a_2 = 2$ máximo $1$

Determine el valor más pequeño de $M$ para el cual, para cualquier elección de entero positivo $n$ y números reales positivos $x_1<x_2<\ldots<x_n \le 2023$ la desigualdad\n$$\sum_{1\le i < j \le n , x_j-x_i \ge 1} 2^{i-j}\le M$$se cumple.

$AB < AC$ en $\triangle ABC$. El punto medio del arco $BC$ que no incluye a $A$ es $T$ y el que incluye a $A$ es $S$. En el segmento $AB,AC$, existen $D,E$ de modo que $DE$ y $BC$ son paralelos. La bisectriz del ángulo externo de $\angle ABE$ y $\angle ACD$ se encuentran con $AS$ en $P$ y $Q$. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle PBE$ y $\triangle QCD$ se encuentran en $AT$.

Para un entero positivo $n$, existen $n$ vértices que tienen $10000$ escritos en ellos en un plano. Para $3$ vértices que son colineales y tienen números positivos escritos en ellos, denotamos el procedimiento $P$ como restar $1$ de los vértices exteriores y sumar $2023$ al vértice interior. Demuestre que el procedimiento $P$ no se puede repetir infinitamente.

En un país hay infinitas ciudades y para cada par de ciudades hay una carretera que las conecta. Inicialmente hay $n$ monedas en cada ciudad. Cada día el viajero Hong comienza desde una ciudad y se mueve a otra, pero si Hong va de la ciudad $A$ a $B$ en el $k$-ésimo día, tiene que enviar $k$ monedas de $B$ a $A$, y ya no puede usar la carretera que conecta $A$ y $B$. Pruebe que Hong no puede viajar por más de $n+2n^{\frac{2}{3}}$ días.

$\triangle ABC$ es un triángulo tal que $\angle A = 60^{\circ}$. El incentro de $\triangle ABC$ es $I$. $AI$ interseca a $BC$ en $D$, $BI$ interseca a $CA$ en $E$, y $CI$ interseca a $AB$ en $F$, respectivamente. Además, la circunferencia circunscrita de $\triangle DEF$ es $\omega$. La línea tangente a $\omega$ en $E$ y $F$ se intersecan en $T$. Demuestre que $\angle BTC \ge 60^{\circ}$