En el cuadrilátero $ABCD$ , $E$ y $F$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$ , y $G$ es la intersección de $AD$ con $BC$ . $P$ es un punto dentro del cuadrilátero, tal que $PA=PB$ , $PC=PD$ , y $\angle APB+\angle CPD=180^{\circ}$ . Demuestra que $PG$ y $EF$ son paralelos.

Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ . La bisectriz perpendicular de $AB$ interseca a $AC$ , $BC$ en $D$ , $E$ respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $DEH$ interseca a $AC$ , $BC$ , $OH$ nuevamente en $F$ , $G$ , $L$ respectivamente. $CH$ se encuentra con $FG$ en $T$ , los puntos $A$ , $B$ , $C$ , $T$ son concíclicos. Demuestra que los puntos $L,H,B,C$ son concíclicos.

Como se muestra en la figura, se sabe que el cuadrilátero $ABCD$ satisface $\angle ADB = \angle ACB = 90^o$ . Suponga que $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $P$ , el punto $R$ se encuentra en $CD$ y $RP \perp AB$ . $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $CD$ respectivamente. El punto $K$ es un punto en la línea de extensión de $NM$ , las circunferencias circunscritas de $\vartriangle DKC$ y $\vartriangle AKB$ se intersecan en el punto $S$ . Demuestra que $KS \perp SR$ .

Definimos una colmena de orden $n$ de la siguiente manera: Una colmena de orden $1$ es un hexágono. Para construir una colmena de orden $n$ , toma una colmena de orden $n-1$ y dibuja una capa de hexágonos en el exterior de estos hexágonos. Inicialmente, algunos hexágonos están infectados por un virus. Si un hexágono ha sido infectado, siempre estará infectado. De lo contrario, se infectará si al menos $5$ de los $6$ vecinos están infectados. Sea $f(n)$ el número mínimo de hexágonos infectados al principio para que después de un tiempo finito, todos los hexágonos se infecten. Encuentra $f(n)$ .

Sea $\triangle ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . La bisectriz del ángulo de $\angle BAC$ interseca a $BC$ en $D$ . El punto $P$ se encuentra en el segmento $AD$ . La línea recta $BP$ interseca a $AC$ en $E$ , y la línea recta $CP$ interseca a $AB$ en $F$ . Sea la tangente del círculo $\Gamma$ en el punto $A$ interseca a la línea $EF$ en el punto $Q$ . Demuestra que $PQ\parallel BC$ .

Dado un triángulo acutángulo $\vartriangle ABC$ con ortocentro $H$ y circuncentro $O$ ( $O \ne H$ ) . Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita de $\vartriangle BOC$ . El segmento $OH$ interseca a $\Gamma$ en el punto $P$ . La extensión de $AO$ interseca a $\Gamma$ en el punto $K$ . Si $AP \perp OH$ , demuestra que $PK$ biseca a $BC$ .

Dado un $\triangle ABC$ con circuncentro $O$ y ortocentro $H(O\ne H)$ . Denota los puntos medios de $BC, AC$ como $D, E$ y sean $D', E'$ los reflejos de $D, E$ con respecto al punto $H$ , respectivamente. Si las líneas $AD'$ y $BE'$ se encuentran en $K$ , calcula $\frac{KO}{KH}$ .

Como se muestra en la figura, dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en el plano se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ . Los dos rayos que pasan por $A$ , $\ell_1$ y $\ell_2$ intersecan a $\Gamma_1$ en los puntos $D$ y $E$ respectivamente, y $\Gamma_2$ en los puntos $F$ y $C$ respectivamente (donde $E$ y $F$ se encuentran en los segmentos de línea $AC$ y $AD$ respectivamente, y ninguno de ellos coincide con los puntos finales). Se sabe que las tres líneas $AB$ , $CF$ y $DE$ tienen un punto en común, la circunferencia circunscrita de $\vartriangle AEF$ interseca a $AB$ en el punto $G$ , la línea recta $EG$ interseca al círculo $\Gamma_1$ en el punto $P$ , la línea recta $FG$ interseca al círculo $\Gamma_2$ en el punto $Q$ . Sean los puntos simétricos de $C$ y $D$ con respecto a la línea recta $AB$ $C'$ y $D'$ respectivamente. Si $PD'$ y $QC'$ se intersecan en el punto $J$ , demuestra que $J$ se encuentra en la línea recta $AB$ .

Como se muestra en la figura, se sabe que $BC = AC$ en $ABC$ , $M$ es el punto medio de $AB$ , los puntos $D$ y $E$ se encuentran en $AB$ satisfaciendo $\angle DCE = \angle MCB$ , la circunferencia circunscrita de $\vartriangle BDC$ y la circunferencia circunscrita de $\vartriangle AEC$ se intersecan en el punto $F$ (diferente del punto $C$ ) , el punto $H$ se encuentra en $AB$ tal que la línea recta $CM$ biseca el segmento de línea $HF$ . Sean los circuncentros de $\vartriangle HFE$ y $\vartriangle BFM$ $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Demuestra que $O_1O_2\perp CF$ .

Como se muestra en la figura, $\odot O$ es la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ABC$ , $\odot J$ está inscrita en $\odot O$ y es tangente a $AB$ , $AC$ en los puntos $D$ y E respectivamente, el segmento de línea $FG$ y $\odot O$ son tangentes al punto $A$ , y $AF =AG=AD$ , la circunferencia circunscrita de $\vartriangle AFB$ interseca a $\odot J$ en el punto $S$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ASG$ es tangente a $\odot J$ .