Un cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene circunferencia circunscrita $\Gamma$, y $AB+BC=AD+DC$. Sea $E$ el punto medio del arco $BCD$, y $F (\neq C)$ sea el antípoda de $A$ con respecto a $\Gamma$. Sean $I,J,K$ el incentro de $\triangle ABC$, el $A$ - excentro de $\triangle ABC$, el incentro de $\triangle BCD$, respectivamente. Suponga que un punto $P$ satisface $\triangle BIC \stackrel{+}{\sim} \triangle KPJ$. Demuestra que $EK$ y $PF$ se intersecan en $\Gamma.$

Dados un entero positivo $n$ y $r$ primos distintos por pares $p_1,p_2,\cdots,p_r.$ Inicialmente, hay $(n+1)^r$ números escritos en la pizarra: $p_1^{i_1}p_2^{i_2}\cdots p_r^{i_r} (0 \le i_1,i_2,\cdots,i_r \le n).$ Alice y Bob juegan un juego haciendo un movimiento por turnos, con Alice yendo primero. En la ronda de Alice, ella borra dos números $a,b$ (no necesariamente diferentes) y escribe $\gcd(a,b)$. En la ronda de Bob, él borra dos números $a,b$ (no necesariamente diferentes) y escribe $\mathrm{lcm} (a,b)$. El juego termina cuando solo queda un número en la pizarra. Determine el $M$ mínimo posible tal que Alice pueda garantizar que el número restante no sea mayor que $M$, independientemente del movimiento de Bob.

Dado un triángulo $ABC$, un círculo $\Omega$ es tangente a $AB,AC$ en $B,C,$ respectivamente. El punto $D$ es el punto medio de $AC$, $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $A,C$ interseca el arco menor $BC$ en $\Omega$ en $P$, e interseca $AB$ en $Q$. Se sabe que el punto medio $R$ del arco menor $PQ$ satisface que $CR \perp AB$. El rayo $PQ$ interseca la línea $AC$ en $L$, $M$ es el punto medio de $AL$, $N$ es el punto medio de $DR$, y $X$ es la proyección de $M$ sobre $ON$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $DNX$ pasa por el centro de $\Gamma$.

Sean $f(x),g(x)$ dos polinomios con coeficientes enteros. Se sabe que para infinitos primos $p$, existe un entero $m_p$ tal que $$f(a) \equiv g(a+m_p) \pmod p$$ se cumple para todo $a \in \mathbb{Z}.$ Demuestra que existe un número racional $r$ tal que $$f(x)=g(x+r).$$

Dado un entero positivo $n$. Demuestra que para cualquier entero $a_1,a_2,\cdots,a_n,$ al menos $\lceil \tfrac{n(n-6)}{19} \rceil$ números del conjunto $\{ 1,2, \cdots, \tfrac{n(n-1)}{2} \}$ no pueden representarse como $a_i-a_j (1 \le i, j \le n)$ .

Dados los enteros positivos $n$ y $k$ , $n > k^2 >4.$ En una cuadrícula de $n \times n$, un $k$ -grupo es un conjunto de $k$ cuadrados unitarios ubicados en diferentes filas y diferentes columnas. Determine el $N$ máximo posible, tal que se puedan elegir $N$ cuadrados unitarios en la cuadrícula y colorearlos, de modo que se cumpla la siguiente condición: en cualquier $k$ -grupo de los $N$ cuadrados unitarios coloreados, hay dos cuadrados con el mismo color, y también hay dos cuadrados con diferentes colores.

Dados los enteros positivos $m$ y $n$. Sea $a_{i,j} ( 1 \le i \le m, 1 \le j \le n)$ números reales no negativos, tales que $$ a_{i,1} \ge a_{i,2} \ge \cdots \ge a_{i,n} \text{ y } a_{1,j} \ge a_{2,j} \ge \cdots \ge a_{m,j} $$ se cumple para todo $1 \le i \le m$ y $1 \le j \le n$. Denotemos $$ X_{i,j}=a_{1,j}+\cdots+a_{i-1,j}+a_{i,j}+a_{i,j-1}+\cdots+a_{i,1},$$ $$ Y_{i,j}=a_{m,j}+\cdots+a_{i+1,j}+a_{i,j}+a_{i,j+1}+\cdots+a_{i,n}.$$ Demuestra que $$ \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} X_{i,j} \ge \prod_{i=1}^{m} \prod_{j=1}^{n} Y_{i,j}.$$

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$ $(n\geq 2)$. Demuestra que $$\sum_{i=1}^n max\{a_1,a_2,\cdots,a_i \} \cdot min\{a_i,a_{i+1},\cdots,a_n\}\leq \frac{n}{2\sqrt{n-1}}\sum_{i=1}^n a^2_i$$

Sea $n=2^{\alpha} \cdot q$ un entero positivo, donde $\alpha$ es un entero no negativo y $q$ es un número impar. Demuestra que para cualquier entero positivo $m$, el número de soluciones enteras a la ecuación $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=m$ es divisible por $2^{\alpha +1}$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Sean los segmentos $BE$ y $DC$ se intersectan en el punto $H$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BD$ y $CE$ respectivamente. Demuestra que $H$ es el ortocentro del triángulo $AMN$ si y sólo si $B,C,E,D$ son concíclicos y $BE\perp CD$.