Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB>AC$ , sea $M$ el punto medio de $BC$ . $P$ es un punto en el triángulo $AMC$ tal que $\angle MAB=\angle PAC$ . Sean $O,O_1,O_2$ los circuncentros de $\triangle ABC,\triangle ABP,\triangle ACP$ respectivamente. Demostrar que la línea $AO$ pasa por el punto medio de $O_1 O_2$ .

Una partición (no ordenada) $P$ de un entero positivo $n$ es una tupla de $n$ enteros no negativos $P=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ tal que $\sum_{k=1}^n kx_k=n$ . Para un entero positivo $m\leq n$ , y una partición $Q=(y_1,y_2,\cdots,y_m)$ de $m$ , $Q$ se llama compatible con $P$ si $y_i\leq x_i$ para $i=1,2,\cdots,m$ . Sea $S(n)$ el número de particiones $P$ de $n$ tal que para cada $m$ impar $<n$ , $m$ tiene exactamente una partición compatible con $P$ y para cada $m$ par $<n$ , $m$ tiene exactamente dos particiones compatibles con $P$ . Encontrar $S(2010)$ .

Demostrar que existe una secuencia de enteros positivos no acotada $a_1\leq a_2\leq a_3\leq\cdots$ , tal que existe un entero positivo $M$ con la siguiente propiedad: para cualquier entero $n\geq M$ , si $n+1$ no es primo, entonces cualquier divisor primo de $n!+1$ es mayor que $n+a_n$ .

Sea $\omega$ un semicírculo y $AB$ su diámetro. $\omega_1$ y $\omega_2$ son dos círculos diferentes, ambos tangentes a $\omega$ y a $AB$ , y $\omega_1$ es también tangente a $\omega_2$ . Sean $P,Q$ los puntos tangentes de $\omega_1$ y $\omega_2$ a $AB$ respectivamente, y $P$ está entre $A$ y $Q$ . Sea $C$ el punto tangente de $\omega_1$ y $\omega$ . Encontrar $\tan\angle ACQ$ .

Dado un entero positivo $k$ , demostrar que existe un entero positivo $N$ que depende solo de $k$ tal que para cualquier entero $n\geq N$ , $\binom{n}{k}$ tiene al menos $k$ divisores primos diferentes.

En una liga de fútbol, hay $n\geq 6$ equipos. Cada equipo tiene una camiseta de local y una camiseta de visitante con diferentes colores. Cuando dos equipos juegan, el equipo local siempre usa la camiseta de local y el equipo visitante usa su camiseta de local si el color es diferente de la camiseta de local del equipo local, o de lo contrario el equipo visitante usará su camiseta de visitante. Se requiere que en cualquier dos partidos con 4 equipos diferentes, las camisetas de los 4 equipos tengan al menos 3 colores diferentes. Encontrar el número mínimo de colores que las $2n$ camisetas de los $n$ equipos pueden usar.

Dado un entero $n\geq 2$ y un número real positivo $a$ , encontrar el menor número real $M=M(n,a)$ , tal que para cualquier número real positivo $x_1,x_2,\cdots,x_n$ con $x_1 x_2\cdots x_n=1$ , la siguiente desigualdad se cumple: \[\sum_{i=1}^n \frac {1}{a+S-x_i}\leq M\] donde $S=\sum_{i=1}^n x_i$ .

Para enteros $n>1$ , definir $f(n)$ como la suma de todos los divisores positivos de $n$ que son menores que $n$ . Demostrar que para cualquier entero positivo $k$ , existe un entero positivo $n>1$ tal que $n<f(n)<f^2(n)<\cdots<f^k(n)$ , donde $f^i(n)=f(f^{i-1}(n))$ para $i>1$ y $f^1(n)=f(n)$ .

Encontrar todos los números reales positivos $\lambda$ tales que para todos los enteros $n\geq 2$ y todos los números reales positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ con $a_1+a_2+\cdots+a_n=n$ , la siguiente desigualdad se cumple: $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}-\lambda\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}\leq n-\lambda$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo, y sea $D$ la proyección de $A$ en $BC$ . Sean $M,N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ respectivamente. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ las circunferencias circunscritas a $\triangle BDM$ y $\triangle CDN$ respectivamente, y sea $K$ el otro punto de intersección de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ . Sea $P$ un punto arbitrario en $BC$ y $E,F$ están en $AC$ y $AB$ respectivamente tales que $PEAF$ es un paralelogramo. Demostrar que si $MN$ es una línea tangente común de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ , entonces $K,E,A,F$ son concíclicos.