Sea $k>1$ un entero, sea $n=2^{k+1}$ . Demostrar que para cualquier entero positivo $a_1<a_2<\cdots<a_n$ , el número $\prod_{1\leq i<j\leq n}(a_i+a_j)$ tiene al menos $k+1$ divisores primos diferentes.

Dado un entero positivo $n$ , encontrar el mayor número real $\lambda=\lambda(n)$ , tal que para cualquier polinomio de grado $n$ con coeficientes complejos $f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_0$ , y cualquier permutación $x_0,x_1,\cdots,x_n$ de $0,1,\cdots,n$ , la siguiente desigualdad se cumple $\sum_{k=0}^n|f(x_k)-f(x_{k+1})|\geq \lambda |a_n|$ , donde $x_{n+1}=x_0$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $A,B,C,D$ concíclicos. Asumir que $\angle ADC$ es agudo y $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{CD}$ . Sea $\Gamma$ un círculo que pasa por $A$ y $D$ , tangente a $AB$ , y sea $E$ un punto en $\Gamma$ y dentro de $ABCD$ . Demostrar que $AE\perp EC$ si y solo si $\frac{AE}{AB}-\frac{ED}{AD}=1$ .

Sea $A$ un conjunto finito, y $A_1,A_2,\cdots, A_n$ son subconjuntos de $A$ con las siguientes condiciones:\n(1) $|A_1|=|A_2|=\cdots=|A_n|=k$ , y $k>\frac{|A|}{2}$ ;\n(2) para cualquier $a,b\in A$ , existen $A_r,A_s,A_t\,(1\leq r<s<t\leq n)$ tales que $a,b\in A_r\cap A_s\cap A_t$ ;\n(3) para cualquier entero $i,j\, (1\leq i<j\leq n)$ , $|A_i\cap A_j|\leq 3$ .\nEncontrar todos los valores posibles de $n$ cuando $k$ alcanza el máximo entre todos los sistemas posibles $(A_1,A_2,\cdots, A_n,A)$ .

Sea $M=\{1,2,\cdots,n\}$ , cada elemento de $M$ está coloreado en rojo, azul o amarillo. Sea $A=\{(x,y,z)\in M\times M\times M|x+y+z\equiv 0\mod n$ , $x,y,z$ son del mismo color $\},$ $B=\{(x,y,z)\in M\times M\times M|x+y+z\equiv 0\mod n,$ $x,y,z$ son de color por pares distintos $\}.$ Demostrar que $2|A|\geq |B|$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ , sea $I$ el centro del incírculo. Sean $M,N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectivamente. $D,E$ están en $AC$ y $AB$ respectivamente tales que $BD\parallel IM$ y $CE\parallel IN$ . Una línea que pasa por $I$ paralela a $DE$ interseca a $BC$ en $P$ . Sea $Q$ la proyección de $P$ en la línea $AI$ . Demostrar que $Q$ está en la circunferencia circunscrita a $\triangle ABC$ .

Encontrar todos los enteros positivos $m,n\geq 2$ , tales que\n(1) $m+1$ es un número primo de tipo $4k-1$ ;\n(2) existe un número primo (positivo) $p$ y un entero no negativo $a$ , tal que\n\[\frac{m^{2^n-1}-1}{m-1}=m^n+p^a.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Asumir que las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en $E$ , y $B$ se encuentra entre $A$ y $E$ . Asumir que las líneas $AD$ y $BC$ se intersecan en $F$ , y $D$ se encuentra entre $A$ y $F$ . Asumir que las circunferencias circunscritas a $\triangle BEC$ y $\triangle CFD$ se intersecan en $C$ y $P$ . Demostrar que $\angle BAP=\angle CAD$ si y solo si $BD\parallel EF$ .

Sean los números reales $a_i,b_i \,(i=0,1,\cdots,2n)$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n(1) para $i=0,1,\cdots,2n-1$ , tenemos $a_i+a_{i+1}\geq 0$ ;\n(2) para $j=0,1,\cdots,n-1$ , tenemos $a_{2j+1}\leq 0$ ;\n(2) para cualquier entero $p,q$ , $0\leq p\leq q\leq n$ , tenemos $\sum_{k=2p}^{2q}b_k>0$ .\nDemostrar que $\sum_{i=0}^{2n}(-1)^i a_i b_i\geq 0$ , y determinar cuándo se cumple la igualdad.

Demuestre que cada entero positivo $n$ , excepto un número finito de ellos, puede representarse como una suma de $2004$ enteros positivos: $n=a_1+a_2+\cdots +a_{2004}$ , donde $1\le a_1<a_2<\cdots <a_{2004}$ , y $a_i \mid a_{i+1}$ para todo $1\le i\le 2003$ .