Como se muestra en la siguiente figura, el punto $P$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Las líneas $AB$ y $CP$ se intersecan en $E$, y las líneas $AC$ y $BP$ se intersecan en $F$. La bisectriz perpendicular del segmento de línea $AB$ se interseca con el segmento de línea $AC$ en $K$, y la bisectriz perpendicular del segmento de línea $AC$ se interseca con el segmento de línea $AB$ en $J$. Demuestra que \[ \left(\frac{CE}{BF} \right)^2 = \frac{AJ \cdot JE}{AK \cdot KF}.\]

Para todo $k=1,2,\ldots,2008$ , $a_k>0$ . Demuestra que si $\sum_{k=1}^{2008}a_k>1$ , existe una función $f:N\rightarrow R$ que satisface (1 ) $0=f(0)<f(1)<f(2)<\ldots$ ; (2 ) $f(n)$ tiene un límite finito cuando $n$ se acerca al infinito; (3 ) $f(n)-f({n-1})=\sum_{k=1}^{2008}a_kf({n+k})-\sum_{k=0}^{2007}a_{k+1}f({n+k})$ , para todo $n=1,2,3,\ldots$ .

Sea $f(x)$ una función periódica con períodos $T$ y $1$ ( $0<T<1$ ) . Demuestra que: (1) Si $T$ es racional, entonces existe un primo $p$ tal que $\frac{1}{p}$ también es un período de $f$ ; (2) Si $T$ es irracional, entonces existe una secuencia infinita estrictamente decreciente { $a_n$ } , con $1>a_n>0$ para todo entero positivo $n$ , tal que todos los $a_n$ son períodos de $f$ .

Dado un cuadrilátero convexo con $\angle B+\angle D<180$ . Sea $P$ un punto arbitrario en el plano, define $f(P)=PA*BC+PD*CA+PC*AB$ . (1) Demuestra que $P,A,B,C$ son concíclicos cuando $f(P)$ alcanza su mínimo. (2) Suponga que $E$ es un punto en el arco menor $AB$ de la circunferencia circunscrita $O$ de $ABC$, tal que $AE=\frac{\sqrt 3}{2}AB,BC=(\sqrt 3-1)EC,\angle ECA=2\angle ECB$ . Sabiendo que $DA,DC$ son tangentes al círculo $O$, $AC=\sqrt 2$ , encuentra el mínimo de $f(P)$ .

Dado un real positivo $C \geq 1$ y una secuencia $a_1, a_2, a_3, \cdots$ que satisface para cualquier entero positivo $n,$ $a_n \geq 0$ y para cualquier real $x \geq 1$ , $$\n\left|x\lg x-\sum_{k=1}^{[x]}\left[\frac{x}{k}\right]a_k \right| \leq Cx,$$\ndonde $[x]$ se define como el entero más grande que no excede a $x$ . Pruebe que para cualquier real $y \geq 1$ , $$\n\sum_{k=1}^{[y]}a_k < 3Cy.$$\n

Para enteros positivos $m,n,$ defina $f(m,n)$ como el número de ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros tales que $$\n\begin{cases}\nxyz=x+y+z+m, \\n\max\{|x|,|y|,|z|\} \leq n\n\end{cases}\n$$ ¿Existen enteros positivos $m,n,$ tales que $f(m,n)=2018?$ Por favor, pruebe su conclusión.

Suponga que el entero $m \geq 2.$ Hay $3m$ personas en una reunión, dos cualesquiera de ellas se dan la mano entre sí una vez o no. Llamamos a la reunión ' $n$ - interesante', solo si existen $n(n\leq 3m-1)$ personas de ellas, el número de veces que cada una de ellas da la mano a otras $3m-1$ personas es exactamente $1,2,\cdots,n,$ respectivamente. Si en cualquier reunión ' $n$ - interesante', existen $3$ personas de ellas que se dan la mano entre sí, encuentre el valor mínimo de $n.$

En el triángulo isósceles $ABC$ con $AB=AC$ , el centro de $\odot O$ es el punto medio del lado $BC$ , y $AB,AC$ son tangentes al círculo en los puntos $E,F$ respectivamente. El punto $G$ está en $\odot O$ con $\angle AGE = 90^{\circ}$ . Una línea tangente de $\odot O$ pasa por $G$ , y se encuentra con $AC$ en $K$ . Pruebe que la línea $BK$ biseca $EF$ .

¿Existe un conjunto $A\subseteq\mathbb{N}^*$ tal que para cualquier entero positivo $n$ , $A\cap\{n,2n,3n,...,15n\}$ contiene exactamente un elemento y existen infinitos enteros positivos $m$ tales que $\{m,m+2018\}\subset A$ ? Por favor, pruebe su conclusión.

Sea $O$ el circuncentro del $\triangle ABC$ , donde $\angle ABC> 90^{\circ}$ y $M$ es el punto medio de $BC$ . El punto $P$ se encuentra dentro del $\triangle ABC$ tal que $PB\perp PC$ . $D,E$ distintos de $P$ se encuentran en la perpendicular a $AP$ que pasa por $P$ tal que $BD=BP, CE=CP$ . Si el cuadrilátero $ADOE$ es un paralelogramo, pruebe que $$\angle OPE = \angle AMB.$$