$ P$ es un punto en el exterior de un círculo centrado en $ O$ . Las tangentes al círculo desde $ P$ tocan el círculo en $ A$ y $ B$ . Sea $ Q$ el punto de intersección de $ PO$ y $ AB$ . Sea $ CD$ cualquier cuerda del círculo que pasa por $ Q$ . Demuestra que $ \triangle PAB$ y $ \triangle PCD$ tienen el mismo incentro.

Encuentra todos los números reales $ x$ tales que $ \lfloor x^3 \rfloor = 4x + 3$ .

Sean $ x, y, z$ números reales tales que $ x + y + z \geq xyz$ . Encuentra el menor valor posible de $ \frac {x^2 + y^2 + z^2}{xyz}$ .

Sean $ n, m$ enteros positivos de diferente paridad, y $ n > m$ . Encuentra todos los enteros $ x$ tales que $ \frac {x^{2^n} - 1}{x^{2^m} - 1}$ es un cuadrado perfecto.

$ ABCD$ es un rectángulo de área 2. $ P$ es un punto en el lado $ CD$ y $ Q$ es el punto donde la circunferencia inscrita de $ \triangle PAB$ toca el lado $ AB$ . El producto $ PA \cdot PB$ varía mientras $ ABCD$ y $ P$ varían. Cuando $ PA \cdot PB$ alcanza su valor mínimo, a) Demuestra que $ AB \geq 2BC$ , b) Encuentra el valor de $ AQ \cdot BQ$ .

La sucesión $ \{x_n\}$ satisface $ x_1 = \frac {1}{2}, x_{n + 1} = x_n + \frac {x_n^2}{n^2}$ . Demuestra que $ x_{2001} < 1001$ .

Para $n$ personas, si se sabe que (a) existen dos personas que se conocen entre sí entre cada tres personas, y (b) existen dos personas que no se conocen entre sí entre cada cuatro personas. Encuentre el máximo de $n$. Aquí, asumimos que si $A$ conoce a $B$, entonces $B$ conoce a $A$.

Si $a,b,c$ son reales positivos tales que $a+b+c=1$, demuestre que \[ 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1 . \]

En el triángulo rectángulo isósceles $ABC$, $CA = CB = 1$. $P$ es un punto arbitrario en los lados de $ABC$. Encuentra el máximo de $PA \cdot PB \cdot PC$.

Los círculos $C(O_1)$ y $C(O_2)$ se intersecan en los puntos $A$, $B$. $CD$ que pasa por el punto $O_1$ interseca a $C(O_1)$ en el punto $D$ y es tangente a $C(O_2)$ en el punto $C$. $AC$ es tangente a $C(O_1)$ en $A$. Dibuje $AE \bot CD$, y $AE$ interseca a $C(O_1)$ en $E$. Dibuje $AF \bot DE$, y $AF$ interseca a $DE$ en $F$. Demuestre que $BD$ biseca a $AF$.