Dado el entero positivo $n > 2$. Números reales $\mid x_i \mid \leq 1$ ( $i = 1, 2, ..., n$ ) que satisfacen $\mid \sum_{i=1}^{n}x_i \mid > 1$. Demuestre que existe un entero positivo $k$ tal que $\mid \sum_{i=1}^{k}x_i - \sum_{i=k+1}^{n}x_i \mid \leq 1$.

Sea $S = \{1, 2, 3, ..., 2005\}$. Si entre cualesquiera $n$ números coprimos por pares en $S$ existe al menos un número primo, encuentre el mínimo de $n$.

Dados tres puntos $P$, $A$, $B$ y un círculo tal que las líneas $PA$ y $PB$ son tangentes al círculo en los puntos $A$ y $B$, respectivamente. Una línea que pasa por el punto $P$ interseca ese círculo en dos puntos $C$ y $D$. Por el punto $B$, dibuje una línea paralela a $PA$; sea esta línea que interseca las líneas $AC$ y $AD$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Demuestre que $BE = BF$.

Se sabe que $a^{2005} + b^{2005}$ se puede expresar como el polinomio de $a + b$ y $ab$. Encuentra la suma de los coeficientes de este polinomio.

Un disco circular se divide en $ 2n$ sectores iguales mediante $ n$ líneas rectas que pasan por su centro. Luego, estos $ 2n$ sectores se colorean de tal manera que exactamente $ n$ de los sectores se colorean de azul, y los otros $ n$ sectores se colorean de rojo. Numeramos los sectores rojos con números del $ 1$ al $ n$ en dirección contraria a las agujas del reloj (comenzando en algunos de estos sectores rojos), y luego numeramos los sectores azules con números del $ 1$ al $ n$ en dirección de las agujas del reloj (comenzando en algunos de estos sectores azules). Demuestre que se puede encontrar un medio disco que contenga sectores numerados con todos los números del $ 1$ al $ n$ (en algún orden). (En otras palabras, demuestre que se pueden encontrar $ n$ sectores consecutivos que están numerados por todos los números $ 1$ , $ 2$ , ..., $ n$ en algún orden.)

Sea $ P$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ ABC$ . Las líneas $ AP,BP,CP$ se encuentran con $ BC,CA,AB$ en los puntos $ D,E,F$ respectivamente. Dado que el triángulo $ \triangle DEF$ y $ \triangle ABC$ son similares, demuestre que $ P$ es el centroide de $ \triangle ABC$ .

Encuentra todos los números naturales $n$ tales que existen $ x_1,x_2,\ldots,x_n,y\in\mathbb{Z}$ donde $x_1,x_2,\ldots,x_n,y\neq 0$ satisfaciendo: \[x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0\] \[ny^2 = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2\]

¿Existe un triángulo con lados de longitudes enteras tal que la longitud del lado más corto sea $ 2007$ y que el ángulo más grande sea el doble del más pequeño?

Sea $ O$ un punto interior del triángulo $ ABC$ . Demuestre que existen enteros positivos $ p,q$ y $ r$ tales que \[ |p\cdot\overrightarrow{OA} + q\cdot\overrightarrow{OB} + r\cdot\overrightarrow{OC}|<\frac{1}{2007}\]

Sean $ a,b,c$ números reales tales que $ a+b+c=3$ . Demuestre que \[\frac{1}{5a^2-4a+11}+\frac{1}{5b^2-4b+11}+\frac{1}{5c^2-4c+11}\leq\frac{1}{4}\]