En el triángulo $ABC$, las medianas y bisectrices correspondientes a los lados $BC$, $CA$, $AB$ son $m_a$, $m_b$, $m_c$ y $w_a$, $w_b$, $w_c$ respectivamente. $P=w_a \cap m_b$, $Q=w_b \cap m_c$, $R=w_c \cap m_a$. Denotemos las áreas del triángulo $ABC$ y $PQR$ por $F_1$ y $F_2$ respectivamente. Encuentre la menor constante positiva $m$ tal que $\frac{F_1}{F_2}<m$ se cumple para cualquier $\triangle{ABC}$.

$x$, $y$ y $z$ son reales positivos tales que $x+y+z=xyz$. Encuentre el valor mínimo de:\n\[\nx^7(yz-1)+y^7(zx-1)+z^7(xy-1)\n\]

Sea $\left(x_{n}\right)$ una sucesión real que satisface $x_{0}=0$, $x_{2}=\sqrt[3]{2}x_{1}$ y $x_{n+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}x_{n}+\sqrt[3]{4}x_{n-1}+\frac{1}{2}x_{n-2}$ para cada entero $n\geq 2$, y tal que $x_{3}$ es un entero positivo. Encuentre el número mínimo de enteros que pertenecen a esta secuencia.

Suponga que $A=\{1,2,\dots,2002\}$ y $M=\{1001,2003,3005\}$. $B$ es un subconjunto no vacío de $A$. Se dice que $B$ es un conjunto $M$ - libre si la suma de dos números cualesquiera en $B$ no pertenece a $M$. Si $A=A_1\cup A_2$, $A_1\cap A_2=\emptyset$ y $A_1,A_2$ son conjuntos $M$ - libres, llamamos al par ordenado $(A_1,A_2)$ una $M$ - partición de $A$. Encuentre el número de $M$ - particiones de $A$.

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Z}^+\to \mathbb{R}$, que satisfacen $f(n+1)\geq f(n)$ para todo $n\geq 1$ y $f(mn)=f(m)f(n)$ para todo $(m,n)=1$.

Suponga que $A\subset \{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_i\in \mathbb{R},i=1,2\dots,n\}$. Para cualquier $\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in A$ y $\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)\in A$, definimos\n\[\n\gamma(\alpha,\beta)=(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\dots,|a_n-b_n|),\n\]\n\[\nD(A)=\{\gamma(\alpha,\beta)\mid\alpha,\beta\in A\}.\n\]\nDemuestre que $|D(A)|\geq |A|$.

Suponga que $A\subseteq \{0,1,\dots,29\}$. Satisface que para cualquier entero $k$ y cualesquiera dos miembros $a,b\in A$ ($a,b$ pueden ser iguales), $a+b+30k$ nunca es el producto de dos enteros consecutivos. Encuentre $A$ con la mayor cardinalidad posible.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $D$ el punto en $BC$ tal que $AD$ es la bisectriz de $\angle A$. Sean $E, F$ los pies de las perpendiculares desde $D$ a $AC,AB$ respectivamente. Suponga que las líneas $BE$ y $CF$ se encuentran en $H$. La circunferencia circunscrita del triángulo $AFH$ se encuentra con $BE$ en $G$ (aparte de $H$). Demuestre que el triángulo construido a partir de $BG$, $GE$ y $BF$ es rectángulo.

La secuencia $\{a_n\}$ se define de la siguiente manera: $a_1$ es un número racional positivo, $a_n= \frac{p_n}{q_n}$ , ( $n= 1,2,…$ ) es un entero positivo, donde $p_n$ y $q_n$ son enteros positivos que son relativamente primos, entonces $a_{n+1} = \frac{p_n^2+2015}{p_nq_n}$ ¿Existe un $a_1>2015$ , que haga que la secuencia $\{a_n\}$ sea una secuencia acotada? Justifica tu conclusión.

Usa $[x]$ para representar el entero más grande que no es mayor que un número real $x$ . Sea $$S_n=\left[1+\frac12 +\frac13+...+\frac{1}{n}\right], \,\, (n =1,2,..,)$$ Demuestra que hay infinitos $n$ tales que $C_n^{S_n}$ es un número par.