Sea $S=\{A_1,A_2,\ldots ,A_n\}$ , donde $A_1,A_2,\ldots ,A_n$ son $n$ conjuntos finitos distintos por pares $(n\ge 2)$ , tales que para cualquier $A_i,A_j\in S$ , $A_i\cup A_j\in S$ . Si $k= \min_{1\le i\le n}|A_i|\ge 2$ , demuestre que existe $x\in \bigcup_{i=1}^n A_i$ , tal que $x$ está en al menos $\frac{n}{k}$ de los conjuntos $A_1,A_2,\ldots ,A_n$ (Aquí $|X|$ denota el número de elementos en el conjunto finito $X$ ) .

Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales. Demuestre que puede seleccionar $\varepsilon _1, \varepsilon _2, \ldots, \varepsilon _n\in\{-1,1\}$ tal que $$\left( \sum_{i=1}^{n}a_{i}\right)^2 +\left( \sum_{i=1}^{n}\varepsilon _ia_{i}\right)^2 \leq(n+1)\left( \sum_{i=1}^{n}a^2_{i}\right).$$

Se da el entero $n>1$. Los enteros positivos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ satisfacen la condición: (1) $a_1<a_2<\cdots<a_n$ ; (2) $\frac{a^2_1+a^2_2}{2},\frac{a^2_2+a^2_3}{2},\cdots,\frac{a^2_{n-1}+a^2_n}{2}$ son todos cuadrados perfectos. Demuestra que: $a_n\ge 2n^2-1.$

Sea $n$ un entero positivo impar, $a_1,a_2,\cdots,a_n$ sea cualquier permutación de los enteros positivos $1,2,\cdots,n$. Demuestra que: $(a_1-1)(a^2_2-2)(a^3_3-3)\cdots (a^n_n-n)$ es un número par.

Para cualquier entero positivo $n$, demuestra que no existen tres enteros impares $x,y,z$ que satisfagan la ecuación $(x+y)^n+(y+z)^n=(x+z)^n$.

Sean $n,k$ enteros mayores que $1$, $n<2^k$. Demuestra que existen $2k$ enteros ninguno de los cuales es divisible por $n$, tal que no importa cómo se separen en dos grupos, existen algunos números todos del mismo grupo cuya suma es divisible por $n$.

$n$ estudiantes realizan un examen con $m$ preguntas, donde $m,n\ge 2$ son enteros. La puntuación asignada a cada pregunta es tal que: para una determinada pregunta, si $x$ estudiantes no la responden correctamente, entonces aquellos que la responden correctamente obtienen $x$ puntos, mientras que aquellos que la responden incorrectamente obtienen $0$. La puntuación de un estudiante es la suma de sus puntuaciones para las $m$ preguntas. Ordena las puntuaciones en orden descendente $p_1\ge p_2\ge \ldots \ge p_n$. Encuentra el valor máximo de $p_1+p_n$.

Sean $u,v$ enteros positivos. Define la secuencia $\{a_n\}$ de la siguiente manera: $a_1=u+v$, y para enteros $m\ge 1$,\n\[\begin{array}{lll}\n\begin{cases}\na_{2m}=a_m+u, \\na_{2m+1}=a_m+v, \n\end{cases}\n\end{array}\] Sea $S_m=a_1+a_2+\ldots +a_m(m=1,2,\ldots )$. Demuestra que hay infinitos cuadrados perfectos en la secuencia $\{S_n\}$.

$AB$ es una cuerda del círculo $\omega$, $P$ es un punto en el arco menor $AB$, $E,F$ están en el segmento $AB$ tal que $AE=EF=FB$. $PE,PF$ se encuentran con $\omega$ en $C,D$ respectivamente. Demuestra que $EF\cdot CD=AC\cdot BD$.

Sean $x,y,z \in [0,1]$ , y $|y-z|\leq \frac{1}{2},|z-x|\leq \frac{1}{2},|x-y|\leq \frac{1}{2}$ . Encuentre el valor máximo y mínimo de $W=x+y+z-yz-zx-xy$ .