Encuentre todos los enteros positivos $x, y, z$ que satisfacen las condiciones: $$[x,y,z] =(x,y)+(y,z) + (z,x), x\le y\le z, (x,y,z) = 1$$ Los símbolos $[m,n]$ y $(m,n)$ representan respectivamente enteros positivos, el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de $m$ y $n$ .

Sea $\odot O$ el círculo inscrito del $\vartriangle ABC$ , con $D$ , $E$ , $N$ los puntos de contacto con los lados $AB$ , $AC$ , $BC$ respectivamente. La extensión de $NO$ interseca el segmento $DE$ en el punto $K$ . La extensión de $AK$ interseca el segmento $BC$ en el punto $M$ . Pruebe que $M$ es el punto medio de $BC$ .

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $(a+2b)(b+2c)=9$ . Pruebe que \[\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+2\sqrt[3]{\frac{b^3+c^3}{2}}\geq 3.\]

Como se muestra en la figura, se colocan piezas de ajedrez en los puntos de intersección de las $64$ líneas de la cuadrícula de la tabla de cuadrícula de $7\times 7$. Se coloca como máximo $1$ pieza en cada punto, y se coloca un total de $k$ piezas de ajedrez a la izquierda. No importa cómo se coloquen, siempre habrá $4$ piezas de ajedrez, y la cuadrícula en la que se encuentran los puntos forman los cuatro vértices de un rectángulo (los lados del rectángulo son paralelos a las líneas de la cuadrícula). Intente encontrar el valor mínimo de $k$ .

Encuentre todas las ternas de enteros positivos $(x, y, z)$ tales que $1 + 2^x \cdot 3^y=5^z$ sea verdadera.

Desde un punto $P$ exterior al círculo $\odot O$ , trazamos las tangentes $PA$ , $PB$ y la secante $PCD$ . La línea que pasa por el punto $C$ paralela a $PA$ interseca las cuerdas $AB$ , $AD$ en los puntos $E$ , $F$ respectivamente. Pruebe que $CE = EF$ .

Se sabe que la secuencia $\{a_n\}$ satisface $a_1=2$ , $a_n=2^{2n}a_{n-1}+n\cdot 2^{n^2}$ , $(n \ge 2)$ , encuentre el término general de $a_n$ .

Sea $a=2001$. Considere el conjunto $A$ de todos los pares de enteros $(m,n)$ con $n\neq0$ tales que (i) $m<2a$ ; (ii) $2n|(2am-m^2+n^2)$ ; (iii) $n^2-m^2+2mn\leq2a(n-m)$. Para $(m, n)\in A$ , sea \nf(m,n)=\frac{2am-m^2-mn}{n}.\nDetermine los valores máximo y mínimo de $f$.

Sea $P_1P_2\ldots P_{24}$ un polígono regular de $24$ lados inscrito en un círculo $\omega$ con circunferencia $24$. Determine el número de formas de elegir conjuntos de ocho vértices distintos de estos $24$ tales que ninguno de los arcos tenga longitud $3$ u $8$.

Sean $a,b,c$ enteros positivos tales que $a,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,a+b+c$ son $7$ primos distintos. La suma de dos de $a,b,c$ es $800$. Si $d$ es la diferencia entre el primo más grande y el primo más pequeño entre esos $7$ primos, encuentre el valor máximo de $d$.