Sea $P$ un $n$ -gono regular $A_1A_2\ldots A_n$. Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que para cada permutación $\sigma (1),\sigma (2),\ldots ,\sigma (n)$ existe $1\le i,j,k\le n$ tal que los triángulos $A_{i}A_{j}A_{k}$ y $A_{\sigma (i)}A_{\sigma (j)}A_{\sigma (k)}$ son ambos agudos, ambos rectos o ambos obtusos.

Sea $X=\{1,2,\ldots,2001\}$. Encuentre el entero positivo más pequeño $m$ tal que para cada subconjunto $W\subset X$ con $m$ elementos, existen $u,v\in W$ (no necesariamente distintos) tal que $u+v$ es de la forma $2^{k}$, donde $k$ es un entero positivo.

Sea $a$ un número real con $\sqrt{2}<a<2$, y sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico convexo cuyo circuncentro $O$ se encuentra en su interior. La circunferencia circunscrita $\omega$ del cuadrilátero tiene radio $1$, y los lados más largo y más corto del cuadrilátero tienen longitud $a$ y $\sqrt{4-a^2}$, respectivamente. Las líneas $L_A,L_B,L_C,L_D$ son tangentes a $\omega$ en $A,B,C,D$, respectivamente. Sean las líneas $L_A$ y $L_B$, $L_B$ y $L_C$, $L_C$ y $L_D$, $L_D$ y $L_A$ que se intersecan en $A',B',C',D'$ respectivamente. Determine el valor mínimo de $\frac{S_{A'B'C'D'}}{S_{ABCD}}$.

Dado un conjunto $I=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_i\in\{1,2,\cdots,11\}\}$ . $A\subseteq I$ , satisfaciendo que para cualquier $(x_1,x_2,x_3,x_4),(y_1,y_2,y_3,y_4)\in A$ , existe $i,j(1\leq i<j\leq4)$ , $(x_i-x_j)(y_i-y_j)<0$ . Encontrar el valor máximo de $|A|$ .

Definir la secuencia $(a_n):a_n=2^n+3^n+6^n+1(n\in\mathbb{Z}_+)$ . ¿Existen enteros $k\geq2$ , que satisfacen que $\gcd(k,a_i)=1$ para todo $k\in\mathbb{Z}_+$ ? Si es así, encontrar el $k$ más pequeño. Si no, demostrar esto.

Cuatro puntos $B,E,A,F$ se encuentran en la línea $AB$ en orden, cuatro puntos $C,G,D,H$ se encuentran en la línea $CD$ en orden, satisfaciendo: $$\frac{AE}{EB}=\frac{AF}{FB}=\frac{DG}{GC}=\frac{DH}{HC}=\frac{AD}{BC}.$$ Demostrar que $FH\perp EG$ .

$a_1=2,a_{n+1}=\frac{2^{n+1}a_n}{(n+\frac{1}{2})a_n+2^n}(n\in\mathbb{Z}_+)$ (a) Encontrar $a_n$ . (b) Sea $b_n=\frac{n^3+2n^2+2n+2}{n(n+1)(n^2+1)a_n}$ . Encontrar $S_n=\sum_{i=1}^nb_i$ .

¿Podemos colocar los enteros $1,2,\cdots,12$ en un círculo, numerarlos $a_1,a_2,\cdots,a_{12}$ en orden? Para cualquier $1\leq i<j\leq12$ , $|a_i-a_j|\neq|i-j|$ ?

$m(m>1)$ es un entero, definir $(a_n)$ : $a_0=m,a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ para todo entero positivo $n$ . Si para todo entero no negativo $k$ , $a_{k+1}\mid a_k$ , encontrar todos los $m$ que no sean mayores que $2016$ . Nota: $\varphi(n)$ significa la función de Euler.

Triángulo inscrito $ABC$ en el círculo $\odot O$ . La bisectriz de $\angle ABC$ interseca a $\odot O$ en $D$ . Dos líneas $PB$ y $PC$ que son tangentes a $\odot O$ se intersecan en $P$ . $PD$ interseca a $AC$ en $E$ , $\odot O$ en $F$ . $M$ es el punto medio de $BC$ . Demostrar que $M,F,C,E$ son concíclicos.