Cada punto con coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco con radio $1/1000$ . (1) Demostrar que existe un triángulo equilátero cuyos vértices están en discos diferentes. (2) Demostrar que cada triángulo equilátero con vértices en discos diferentes tiene una longitud de lado mayor que $96$ .

Encontrar todos los primos $p \geq 3$ con la siguiente propiedad: para cualquier primo $q<p$ , el número \[ p - \Big\lfloor \frac{p}{q} \Big\rfloor q \] es libre de cuadrados (es decir, no es divisible por el cuadrado de un primo).

Sean $x_1, x_2 , x_3, .... x_n$, $n$ números reales tales que $0 < x_j < \frac{1}{2}$ . Demostrar que \[ \frac{ \prod\limits_{j=1}^{n} x_j } { \left( \sum\limits_{j=1}^{n} x_j \right)^n} \leq \frac{ \prod\limits_{j=1}^{n} (1-x_j) } { \left( \sum\limits_{j=1}^{n} (1 - x_j) \right)^n} \]

Dos corredores comienzan a correr a lo largo de una pista circular de longitud unitaria desde el mismo punto de partida y en el mismo sentido, con velocidades constantes $v_1$ y $v_2$ respectivamente, donde $v_1$ y $v_2$ son dos números naturales distintos relativamente primos. Continúan corriendo hasta que llegan simultáneamente al punto de partida. Demostrar que (a) en cualquier tiempo dado $t$ , al menos uno de los corredores está a una distancia no mayor que $\frac{[\frac{v_1 + v_2}{2}]}{v_1 + v_2}$ unidades desde el punto de partida. (b) existe un tiempo $t$ tal que ambos corredores están al menos $\frac{[\frac{v_1 + v_2}{2}]}{v_1 + v_2}$ unidades lejos del punto de partida. (Todas las distancias se miden a lo largo de la pista). $[x]$ es la función del entero más grande.

Definir una función $g: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ por la siguiente regla: (a) $g$ es no decreciente (b) para cada $n$ , $g(n)$ es el número de veces que $n$ aparece en el rango de $g$ , Demostrar que $g(1) = 1$ y $g(n+1) = 1 + g( n +1 - g(g(n)))$ para todo $n \in \mathbb{N}$

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro. Sean $\varrho_1$ y $\varrho_2$ los inradii de los triángulos $IAB$ e $IAC$ respectivamente. (a) Demostrar que existe una función $f: ( 0, \pi ) \mapsto \mathbb{R}$ tal que \[ \frac{ \varrho_1}{ \varrho_2} = \frac{f(C)}{f(B)} \] donde $B = \angle ABC$ y $C = \angle BCA$ (b) Demostrar que \[ 2 ( \sqrt{2} -1 ) < \frac{ \varrho_1} { \varrho_2} < \frac{ 1 + \sqrt{2}}{2} \]

Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que \[ f(x+y) = f(x)f(y) - c \sin{x} \sin{y} \] para todos los reales $x,y$ donde $c> 1$ es una constante dada.

Demostrar que las únicas soluciones de la ecuación \[ p^{k} + 1 = q^{m} \] , en enteros positivos $k,q,m > 1$ y primo $p$ son (i) $(p,k,q,m) = (2,3,3,2)$ (ii) $k=1 , q=2,$ y $p$ es un primo de la forma $2^{m} -1$ , $m > 1 \in \mathbb{N}$

Sea $ABC$ un triángulo y sea $P$ un punto en su interior. Denotemos por $D$ , $E$ , $F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ a las líneas $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente. Supongamos que \[AP^2 + PD^2 = BP^2 + PE^2 = CP^2 + PF^2.\] Denotemos por $I_A$ , $I_B$ , $I_C$ los excentros del triángulo $ABC$ . Demostrar que $P$ es el circuncentro del triángulo $I_AI_BI_C$ .

El juego de los $pebbles$ se juega en un tablero infinito de puntos de la retícula $(i,j)$ . Inicialmente hay un $pebble$ en $(0,0)$ . Un movimiento consiste en quitar un $pebble$ del punto $(i,j)$ y colocar un $pebble$ en cada uno de los puntos $(i+1,j)$ y $(i,j+1)$ siempre que ambos estén vacantes. Demostrar que en cualquier etapa del juego hay un $pebble$ en algún punto de la retícula $(a,b)$ con $0 \leq a+b \leq 3$