Sea $G$ un grafo simple en el conjunto de vértices infinito $V=\{v_1, v_2, v_3,\ldots\}$. Suponga que cada subgrafo de $G$ en un subconjunto de vértices finito es $10$ - coloreable, Demostrar que $G$ mismo es $10$ - coloreable.

Hallar todas las funciones de $\mathbb{N}\cup\{0\}\to\mathbb{N}\cup\{0\}$ tales que $f(m^2+mf(n))=mf(m+n)$ , para todo $m,n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$.

Sea $n \ge 2$ un entero, y sea $A_n$ el conjunto $$A_n = \{2^n - 2^k\mid k \in \mathbb{Z},\, 0 \le k < n\}.$$ Determinar el mayor entero positivo que no puede escribirse como la suma de uno o más (no necesariamente distintos) elementos de $A_n$.

Sean $n$ puntos dados dentro de un rectángulo $R$ tales que no hay dos de ellos en una línea paralela a uno de los lados de $R$. El rectángulo $R$ debe ser diseccionado en rectángulos más pequeños con lados paralelos a los lados de $R$ de tal manera que ninguno de estos rectángulos contenga ninguno de los puntos dados en su interior. Demostrar que tenemos que diseccionar $R$ en al menos $n + 1$ rectángulos más pequeños.

Sean $f$ y $g$ dos polinomios con coeficientes enteros tales que los coeficientes principales de ambos polinomios son positivos. Suponga que $\deg(f)$ es impar y los conjuntos $\{f(a)\mid a\in \mathbb{Z}\}$ y $\{g(a)\mid a\in \mathbb{Z}\}$ son los mismos. Demostrar que existe un entero $k$ tal que $g(x)=f(x+k)$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sean las diagonales $AC$ y $BD$ que se intersecan en $O$. Sean $I_1, I_2, I_3, I_4$ respectivamente los incentros de los triángulos $AOB, BOC, COD, DOA$. Sean $J_1, J_2, J_3, J_4$ respectivamente los excentros de los triángulos $AOB, BOC, COD, DOA$ opuestos a $O$. Demostrar que $I_1, I_2, I_3, I_4$ están en una circunferencia si y sólo si $J_1, J_2, J_3, J_4$ están en una circunferencia.

Cada celda de un tablero de $3\times 3$ se colorea de rojo o azul. Hallar el número de todas las coloraciones en las que no hay cuadrados de $2\times 2$ en los que todas las celdas son rojas.

Para un número compuesto $n$, sea $d_n$ su mayor divisor propio. Demostrar que hay infinitos $n$ para los cuales $d_n +d_{n+1}$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triángulo en el que $CA>BC>AB$. Sea $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Sean $D$ y $E$ respectivamente los puntos medios del arco $AB$ que no contiene a $C$ y del arco $AC$ que no contiene a $B$. Sean $D'$ y $E'$ respectivamente las reflexiones de $D$ en $AB$ y $E$ en $AC$. Demostrar que $O, H, D', E'$ están en una circunferencia si y sólo si $A, D', E'$ son colineales.

Demostrar que para cualquier triángulo $ABC$, la desigualdad $\displaystyle\sum_{\text{cyclic}}\cos A\le\sum_{\text{cyclic}}\sin (A/2)$ se cumple.