Un número de $10$ dígitos se llama número $\textit{lindo}$ si sus dígitos pertenecen al conjunto $\{1,2,3\}$ y la diferencia de cada par de dígitos consecutivos es $1$. a) Hallar el número total de números lindos. b) Demostrar que la suma de todos los números lindos es divisible por $1408$.

Hallar todos los enteros positivos $a,b$ tales que $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ y $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ también son enteros.

Los números $1, 2, 3$ , $\ldots$ , $n^2$ están dispuestos en un arreglo de $n\times n$, de modo que los números en cada fila aumentan de izquierda a derecha, y los números en cada columna aumentan de arriba a abajo. Sea $a_{ij}$ el número en la posición $i, j$ . Sea $b_j$ el número de valores posibles para $a_{jj}$ . Muestre que \[ b_1 + b_2 + \cdots + b_n = \frac{ n(n^2-3n+5) }{3} . \]

¿Existen enteros positivos distintos $a$ , $b$ , $c$ tales que $a$ , $b$ , $c$ , $-a+b+c$ , $a-b+c$ , $a+b-c$ , $a+b+c$ forman una progresión aritmética (en algún orden)?

¿Es cierto que existen 100 líneas en el plano, no tres concurrentes, de modo que se intersecan en exactamente 2002 puntos?

Si $x$ , $y$ son reales positivos tales que $x + y = 2$ muestre que $x^3y^3(x^3+ y^3) \leq 2$ .

Encuentre el valor positivo más pequeño tomado por $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ para enteros positivos $a$ , $b$ , $c$ . Encuentre todos los $a$ , $b$ , $c$ que dan el valor más pequeño.

Para un hexágono convexo $ ABCDEF$ en el que cada par de lados opuestos es desigual, considere las siguientes afirmaciones.\n( $ a_1$ ) $ AB$ es paralelo a $ DE$ .\n( $ a_2$ ) $ AE = BD$ .\n( $ b_1$ ) $ BC$ es paralelo a $ EF$ .\n( $ b_2$ ) $ BF = CE$ .\n( $ c_1$ ) $ CD$ es paralelo a $ FA$ .\n( $ c_2$ ) $ CA = DF$ .\n$ (a)$ Demuestre que si las seis de estas afirmaciones son verdaderas, entonces el hexágono es cíclico.\n$ (b)$ Demuestre que, de hecho, cinco de las seis afirmaciones son suficientes.

Hay una matriz (matriz) de $2n \times 2n$ que consta de $0's$ y $1's$ y hay exactamente $3n$ ceros. Demuestre que es posible eliminar todos los ceros eliminando algunas $n$ filas y algunas $n$ columnas.

Defina una sucesión $(a_n)_{n \geq 1}$ por $a_1 =1$ y $a_2 =2$ y $a_{n+2} = 2 a_{n+1} - a_n + 2$ para $n \geq 1$. Pruebe que para cualquier $m$ , $a_m a_{m+1}$ es también un término en esta secuencia.