Sea $X$ un conjunto que contiene $n$ elementos. Encuentre el número de ternas ordenadas $(A,B, C)$ de subconjuntos de $X$ tales que $A$ es un subconjunto de $B$ y $B$ es un subconjunto propio de $C$.

Resuelva el siguiente sistema para reales $a , b, c, d, e$ : \[ \left\{ \begin{array}{ccc} 3a & = & ( b + c+ d)^3 \\ 3b & = & ( c + d +e ) ^3 \\ 3c & = & ( d + e +a )^3 \\ 3d & = & ( e + a +b )^3 \\ 3e &=& ( a + b +c)^3. \end{array}\right. \]

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos concéntricos en el plano con radios $R$ y $3R$ respectivamente. Demuestre que el ortocentro de cualquier triángulo inscrito en el círculo $C_1$ se encuentra en el interior del círculo $C_2$. A la inversa, demuestre que todo punto en el interior de $C_2$ es el ortocentro de algún triángulo inscrito en $C_1$.

a) Dado cualquier entero positivo $n$, demuestre que existen enteros positivos distintos $x$ e $y$ tales que $x + j$ divide a $y + j$ para $j = 1, 2, 3, \ldots, n$; b) Si para algunos enteros positivos $x$ e $y$, $x+j$ divide a $y+j$ para todos los enteros positivos $j$, demuestre que $x = y$.

Encuentra el número de polinomios cuadráticos $ax^2 + bx +c$ que satisfacen lo siguiente: (a) $a,b,c$ son distintos; (b) $a,b,c \in \{ 1,2,3,\cdots 1999 \}$; (c) $x+1$ divide a $ax^2 + bx+c$.

Encuentra todas las soluciones en enteros $m,n$ de la ecuación \[ (m-n)^2 = \frac{4mn}{ m+n-1}. \]

Si $a,b,c$ son lados de un triángulo, prueba que \[ \frac{a}{c+a-b} + \frac{b}{a+b-c} + \frac{c}{b+c-a} \geq 3. \]

Si $p,q,r$ son las raíces de la ecuación cúbica $x^3 - 3px^2 + 3q^2 x - r^3 = 0$, entonces demuestra que $p = q =r$.

Sea $ABCD$ un cuadrado y $M,N$ puntos en los lados $AB, BC$ respectivamente tales que $\angle MDN = 45^{\circ}$. Si $R$ es el punto medio de $MN$, demuestra que $RP =RQ$ donde $P,Q$ son puntos de intersección de $AC$ con las líneas $MD, ND$.

Encuentra el número de enteros positivos que dividen a $10^{999}$ pero no a $10^{998}$.