Demuestra que el inradio de un triángulo rectángulo con lados enteros es un entero.

Cada boleto de lotería tiene un número de 9 dígitos, que utiliza solo los dígitos $1$ , $2$ , $3$ . Cada boleto está coloreado de rojo, azul o verde. Si dos boletos tienen números que difieren en los nueve lugares, entonces los boletos tienen diferentes colores. El boleto $122222222$ es rojo y el boleto $222222222$ es verde. ¿De qué color es el boleto $123123123$?

Sean a, b, c las longitudes de los lados y S el área de un triángulo ABC. Denota $x=a+\frac{b}{2}$ , $y=b+\frac{c}{2}$ y $z=c+\frac{a}{2}$ . Demuestra que existe un triángulo con longitudes de lado x, y, z, y el área de este triángulo es $\geq\frac94 S$.

Encuentra todos los números de $7$ dígitos que usan solo los dígitos $5$ y $7$ y son divisibles por $35$.

Demuestra que $8x^4 - 16x^3 + 16x^2 - 8x + k = 0$ tiene al menos una raíz real para todo $k$ real. Encuentra la suma de las raíces no reales.

Encuentra todos los primos $p,q$ y $n>2$ pares tal que $p^n+p^{n-1}+...+1=q^2+q+1$.

Sea $P$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ABC$. La línea $BP$ se encuentra con la línea $AC$ en $E$, y la línea $CP$ se encuentra con la línea $AB$ en $F$. Las líneas $AP$ y $EF$ se intersecan entre sí en $D$. Sea $K$ el pie de la perpendicular desde el punto $D$ a la línea $BC$. Demuestra que la línea $KD$ biseca el ángulo $\angle EKF$.

Defina una secuencia $ < a_n > _{n\geq0}$ por $ a_0 = 0$, $ a_1 = 1$ y \[ a_n = 2a_{n - 1} + a_{n - 2},\] para $ n\geq2.$ $ (a)$ Para cada $ m > 0$ y $ 0\leq j\leq m,$ demuestre que $ 2a_m$ divide a $ a_{m + j} + ( - 1)^ja_{m - j}$. $ (b)$ Suponga que $ 2^k$ divide a $ n$ para algunos números naturales $ n$ y $ k$. Demuestre que $ 2^k$ divide a $ a_n.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo con altitud $ AK$. Sea $ H$ su ortocentro y $ O$ su circuncentro. Suponga que $ KOH$ es un triángulo acutángulo y $ P$ su circuncentro. Sea $ Q$ la reflexión de $ P$ en la línea $ HO$. Demuestre que $ Q$ se encuentra en la línea que une los puntos medios de $ AB$ y $ AC$.

¿Cuántas 6-tuplas $ (a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6)$ hay tales que cada uno de $ a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6$ es del conjunto $ \{1,2,3,4\}$ y las seis expresiones \[ a_j^2 - a_ja_{j + 1} + a_{j + 1}^2\] para $ j = 1,2,3,4,5,6$ (donde $ a_7$ se debe tomar como $ a_1$ ) son todas iguales entre sí?