Encuentre todos los números reales no nulos $ x, y, z$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: \[ (x^2 + xy + y^2)(y^2 + yz + z^2)(z^2 + zx + x^2) = xyz\] \[ (x^4 + x^2y^2 + y^4)(y^4 + y^2z^2 + z^4)(z^4 + z^2x^2 + x^4) = x^3y^3z^3\]

Encuentre todos los números naturales $ n > 1$ tales que $ n^{2}$ $ \text{no}$ divide a $ (n - 2)!$.

Sea $ ABC$ un triángulo con circuncírculo $ \Gamma$. Sea $ M$ un punto en el interior del triángulo $ ABC$ que también está en la bisectriz de $ \angle A$. Sean $ AM, BM, CM$ intersecando a $ \Gamma$ en $ A_{1}, B_{1}, C_{1}$ respectivamente. Suponga que $ P$ es el punto de intersección de $ A_{1}C_{1}$ con $ AB$; y $ Q$ es el punto de intersección de $ A_{1}B_{1}$ con $ AC$. Demuestre que $ PQ$ es paralelo a $ BC$.

Si $ x$ , $ y$ , $ z$ son números reales positivos, demuestra que \[ \left(x + y + z\right)^2 \left(yz + zx + xy\right)^2 \leq 3\left(y^2 + yz + z^2\right)\left(z^2 + zx + x^2\right)\left(x^2 + xy + y^2\right) .\]

Sea $ ABC$ un triángulo en el que $ AB=AC$ . Sea $ D$ el punto medio de $ BC$ y $ P$ un punto en $ AD$ . Suponga que $ E$ es el pie de la perpendicular de $ P$ sobre $ AC$ . Define \[ \frac{AP}{PD}=\frac{BP}{PE}=\lambda , \ \ \ \frac{BD}{AD}=m , \ \ \ z=m^2(1+\lambda)\] Demuestra que \[ z^2 - (\lambda^3 - \lambda^2 - 2)z + 1 = 0\] Por lo tanto, demuestre que $ \lambda \ge 2$ y $ \lambda = 2$ si y solo si $ ABC$ es equilátero.

Sea $ \sigma = (a_1, a_2, \cdots , a_n)$ una permutación de $ (1, 2 ,\cdots, n)$ . Se dice que un par $ (a_i, a_j)$ corresponde a una inversión de $ \sigma$ si $ i<j$ pero $ a_i>a_j$ . ¿Cuántas permutaciones de $ (1,2,\cdots,n)$ , $ n \ge 3$ , tienen exactamente dos inversiones? Por ejemplo, en la permutación $(2,4,5,3,1)$ , hay 6 inversiones correspondientes a los pares $ (2,1),(4,3),(4,1),(5,3),(5,1),(3,1)$ .

Sean $ m$ y $ n$ enteros positivos tales que $ x^2 - mx +n = 0$ tiene raíces reales $ \alpha$ y $ \beta$ . Demuestra que $ \alpha$ y $ \beta$ son enteros si y solo si $ [m\alpha] + [m\beta]$ es el cuadrado de un entero. (Aquí $ [x]$ denota el entero más grande que no excede $ x$ )

Sea $ n$ un número natural tal que $ n = a^2 + b^2 +c^2$ para algunos números naturales $ a,b,c$ . Demuestra que \[ 9n = (p_1a+q_1b+r_1c)^2 + (p_2a+q_2b+r_2c)^2 + (p_3a+q_3b+r_3c)^2\] donde $ p_j$ ' s , $ q_j$ ' s , $ r_j$ ' s son todos enteros no nulos. Además, si $ 3$ no divide al menos a uno de $ a,b,c,$ demuestra que $ 9n$ se puede expresar en la forma $ x^2+y^2+z^2$ , donde $ x,y,z$ son números naturales ninguno de los cuales es divisible por $ 3$ .

En un triángulo $ ABC$ rectángulo en $ C$ , la mediana a través de $ B$ biseca el ángulo entre $ BA$ y la bisectriz de $ \angle B$ . Demuestra que \[ \frac{5}{2} < \frac{AB}{BC} < 3\]

Para enteros $a,b$ definimos $f((a,b))=(2a,b-a)$ si $a<b$ y $f((a,b))=(a-b,2b)$ si $a\geq b$. Dado un número natural $n>1$ demuestra que existen números naturales $m,k$ con $m<n$ tales que $f^{k}((n,m))=(m,n)$ , donde $f^{k}(x)=f(f(f(...f(x))))$ , $f$ se compone consigo misma $k$ veces.