Para $j=1,2,3$ sean $x_{j},y_{j}$ números reales no nulos, y sea $v_{j}=x_{j}+y_{j}$. Supón que las siguientes afirmaciones se cumplen: $x_{1}x_{2}x_{3}=-y_{1}y_{2}y_{3}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^2$ $v_{1},v_{2},v_{3}$ satisfacen la desigualdad triangular $v_{1}^{2},v_{2}^{2},v_{3}^{2}$ también satisfacen la desigualdad triangular. Demuestra que exactamente uno de $x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}$ es negativo.

En un triángulo $ABC$ , con $AB\neq AC$ y $A\neq 60^{0},120^{0}$ , $D$ es un punto en la línea $AC$ diferente de $C$ . Supón que los circuncentros y ortocentros de los triángulos $ABC$ y $ABD$ se encuentran en un círculo. Demuestra que $\angle ABD=\angle ACB$.

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B > \angle C$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos diferentes en la línea $AC$ tales que $\angle PBA = \angle QBA = \angle ACB $ y $A$ está ubicado entre $P$ y $C$ . Supón que existe un punto interior $D$ del segmento $BQ$ para el cual $PD=PB$ . Sea el rayo $AD$ intersectar el círculo $ABC$ en $R \neq A$ . Demuestra que $QB = QR$ .

Encuentra todos los enteros positivos $x$ e $y$ tales que $x^{x+y}=y^{3x}$.

Demuestra que en cualquier conjunto de $2000$ números reales distintos existen dos pares $a>b$ y $c>d$ con $a \neq c$ o $b \neq d $ , tales que \[ \left| \frac{a-b}{c-d} - 1 \right|< \frac{1}{100000}. \]

Para cualquier número real $x$, sea $\lfloor x \rfloor$ la parte entera de $x$; $\{ x \}$ la parte fraccionaria de $x$ ( $\{x\}$ $=$ $x-$ $\lfloor x \rfloor$ ). Sea $A$ el conjunto de todos los números reales $x$ que satisfacen $$\displaystyle{ \{x\} =\frac{x+\lfloor x \rfloor +\lfloor x + (1/2) \rfloor }{20} }$$ Si $S$ es la suma de todos los números en $A$, encuentra $\lfloor S \rfloor$

En el paralelogramo $ABCD$, $AC=10$ y $BD=28$. Los puntos $K$ y $L$ en el plano de $ABCD$ se mueven de tal manera que $AK=BD$ y $BL=AC$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $CK$ y $DL$, respectivamente. ¿Cuál es el valor máximo de $\cot^2 (\tfrac{\angle BMD}{2})+\tan^2(\tfrac{\angle ANC}{2})$?

Considere el conjunto $E$ de todos los enteros positivos $n$ tales que cuando se dividen por $9,10,11$ respectivamente, los restos (en ese orden) son todos $>1$ y forman una progresión geométrica no constante. Si $N$ es el elemento más grande de $E$, encuentre la suma de los dígitos de $E$

¿Cuántos números de $4$ dígitos $\overline{abcd}$ hay tales que $a<b<c<d$ y $b-a<c-b<d-c$?

Si $15$ y $9$ son las longitudes de dos medianas de un triángulo, ¿cuál es el área máxima posible del triángulo al entero más cercano?