Sean $F_k(a,b)=(a+b)^k-a^k-b^k$ y $S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$. ¿Para cuántos pares ordenados $(a,b)$ con $a,b\in S$ y $a\leq b$ es $\frac{F_5(a,b)}{F_3(a,b)}$ un entero?

En un reloj, hay dos instantes entre las $12$ del mediodía y la $1 \,\mathrm{PM}$, cuando la manecilla de la hora y la manecilla de los minutos están en ángulo recto. La diferencia en minutos entre estos dos instantes se escribe como $a + \dfrac{b}{c}$, donde $a, b, c$ son enteros positivos, con $b < c$ y $b/c$ en forma reducida. ¿Cuál es el valor de $a+b+c$ ?

Sea $\overline{abc}$ un número de tres dígitos con dígitos distintos de cero tal que $a^2 + b^2 = c^2$. ¿Cuál es el mayor factor primo posible de $\overline{abc}$?

Cinco personas con insignias con los números $1, 2, 3, 4, 5$ están sentadas en $5$ sillas alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas maneras pueden sentarse para que no haya dos personas cuyas insignias tengan números consecutivos sentadas una al lado de la otra? (Dos arreglos obtenidos por rotación alrededor de la mesa se consideran diferentes)

Una hormiga sale del hormiguero para su ejercicio matutino. Camina $4$ pies hacia el este y luego hace un giro de $160^\circ$ a la derecha y camina $4$ pies más. Si la hormiga continúa con este patrón hasta que llega de nuevo al hormiguero, ¿cuál es la distancia en pies que habría caminado?

Sea $x_{1}$ un número real positivo y para cada entero $n \geq 1$ sea $x_{n+1} = 1 + x_{1}x_{2}\ldots x_{n-1}x_{n}$ . Si $x_{5} = 43$ , ¿cuál es la suma de los dígitos de los factores primos más grandes de $x_{6}$ ?

Sea $f(x) = x^{2} +ax + b$ . Si para todo $x$ real distinto de cero $$f\left(x + \dfrac{1}{x}\right) = f\left(x\right) + f\left(\dfrac{1}{x}\right)$$ y las raíces de $f(x) = 0$ son enteros, ¿cuál es el valor de $a^{2}+b^{2}$ ?

Forme un cuadrado con lados de longitud $5$, se eliminan piezas triangulares de las cuatro esquinas para formar un octágono regular. Encuentre el área eliminada al entero más cercano.

En algunos puntos enteros, un polinomio con coeficientes enteros toma los valores $1, 2$ y $3$ . Demuestre que no existe más de un entero en el que el polinomio sea igual a $5$ .

Dos de las herramientas de la caja de geometría se colocan sobre la mesa como se muestra. Determine el ángulo $\angle ABC$