Encuentra el número de ternas ordenadas $(a, b)$ de enteros positivos con $a < b$ y $100 \leq a, b \leq 1000$ satisfacen $\gcd(a, b) : \mathrm{lcm}(a, b) = 1 : 495$ ?

Sean $a,b,c$ enteros positivos distintos tales que $b+c-a$ , $c+a-b$ y $a+b-c$ son todos cuadrados perfectos. ¿Cuál es el mayor valor posible de $a+b+c$ menor que $100$?

Sea $N$ el número de todos los números naturales $n$ tales que $n$ es divisible por un primo $p> \sqrt{n}$ y $p<20$. ¿Cuál es el valor de $N$?

En la notación de base $-2$, los dígitos son sólo $0$ y $1$ y los lugares aumentan en potencias de $-2$. Por ejemplo, $11011$ representa $(-2)^4+(-2)^3+(-2)^1+(-2)^0$ y es igual al número $7$ en base $10$. Si el número decimal $2019$ se expresa en base $-2$, ¿cuántos dígitos no nulos contiene?

Sea $\mathcal{R}$ la región circular en el plano $xy$ limitada por el círculo $x^2+y^2=36$. Las líneas $x=4$ e $y=3$ dividen a $\mathcal{R}$ en cuatro regiones $\mathcal{R}_i ~ , ~i=1,2,3,4$ . Si $\mid \mathcal{R}_i \mid$ denota el área de la región $\mathcal{R}_i$ y si $\mid \mathcal{R}_1 \mid >$ $\mid \mathcal{R}_2 \mid >$ $\mid \mathcal{R}_3 \mid > $ $\mid \mathcal{R}_4 \mid $ , determine $\mid \mathcal{R}_1 \mid $ $-$ $\mid \mathcal{R}_2 \mid $ $-$ $\mid \mathcal{R}_3 \mid $ $+$ $\mid \mathcal{R}_4 \mid $ .

Considera la secuencia $$1,7,8,49,50,56,57,343\ldots$$ que consiste en sumas de potencias distintas de $7$ , es decir, $7^0$ , $7^1$ , $7^0+7^1$ , $7^2$ , $\ldots$ en orden creciente. ¿En qué posición aparecerá $16856$ en esta secuencia?

Sea $N$ el número de formas de elegir un subconjunto de $5$ números distintos del conjunto $${10a+b:1\leq a\leq 5, 1\leq b\leq 5}$$ donde $a,b$ son enteros, tal que no haya dos de los números seleccionados que tengan las mismas unidades y no haya dos que tengan las mismas decenas. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide por $73$?

Encuentra el valor más grande de $a^b$ tal que los enteros positivos $a,b>1$ satisfacen $$a^bb^a+a^b+b^a=5329$$

Un día salí a caminar por la mañana a las $x$ minutos pasadas las $5'O$ en punto, donde $x$ es un número de 2 dígitos. Cuando regresé, eran $y$ minutos pasadas las $6'O$ en punto, y noté que (i) caminé exactamente $x$ minutos y (ii) $y$ era un número de 2 dígitos obtenido invirtiendo los dígitos de $x$. ¿Cuántos minutos caminé?

El centro del círculo que pasa por los puntos medios de los lados de un triángulo isósceles $ABC$ se encuentra en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Si el ángulo mayor del triángulo $ABC$ es $\alpha^{\circ}$ y el menor es $\beta^{\circ}$, ¿cuál es el valor de $\alpha-\beta$?