En un triángulo $ABC$, se sabe que $\angle A=100^{\circ}$ y $AB=AC$. La bisectriz interna del ángulo $BD$ tiene una longitud de $20$ unidades. Encuentra la longitud de $BC$ al entero más cercano, dado que $\sin 10^{\circ} \approx 0.174$.

Un vaso cónico tiene la forma de un cono circular recto. La altura inclinada es $21$ y el radio del borde superior del vaso es $14$. Una hormiga en el punto medio de una línea inclinada en la pared exterior del vaso ve una gota de miel diametralmente opuesta a ella en la pared interior del vaso. Si $d$ es la distancia más corta que debe arrastrarse para alcanzar la gota de miel, ¿cuál es la parte entera de $d$ ?

Un tablero sin fricción tiene la forma de un triángulo equilátero de $1$ metro de longitud lateral con paredes rebotantes a lo largo de los lados. Una pequeña bola súper rebotante se dispara desde el vértice $A$ hacia el lado $BC$. La bola rebota en las paredes del tablero nueve veces antes de golpear un vértice por primera vez. Los rebotes son tales que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. La distancia recorrida por la bola en metros es de la forma $\sqrt{N}$, donde $N$ es un entero. ¿Cuál es el valor de $N$ ?

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=BC$. Un trisector de $\angle B$ se encuentra con $AC$ en $D$. Si $AB,AC$ y $BD$ son enteros y $AB-BD$ $=$ $3$, encuentre $AC$.

Para $n \geq 1$, sea $a_n$ el número que comienza con $n$ $9$'s seguidos de $744$; por ejemplo, $a_4=9999744$. Defina $$f(n)=\text{max}\{m\in \mathbb{N} \mid2^m ~ \text{divide} ~ a_n \}$$ , para $n\geq 1$. Encuentre $f(1)+f(2)+f(3)+ \cdots + f(10)$.

Sea $t$ el área de un pentágono regular con cada lado igual a $1$. Sea $P(x)=0$ la ecuación polinómica con el grado más bajo, que tiene coeficientes enteros, satisfecha por $x=t$ y el $\gcd$ de todos los coeficientes igual a $1$. Si $M$ es la suma de los valores absolutos de los coeficientes de $P(x)$, ¿cuál es el entero más cercano a $\sqrt{M}$ ? ( $\sin 18^{\circ}=(\sqrt{5}-1)/2$ )

¿Cuál es el entero más grande que no excede la suma $\sum^{1599}_{n=1} \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ?

Considera el conjunto $E = \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Para cualquier partición ${A, B}$ de $E$, con ambos $A$ y $B$ no vacíos, considera el número obtenido al sumar el producto de los elementos de $A$ al producto de los elementos de $B$. Sea $N$ el número primo más grande entre estos números. Encuentra la suma de los dígitos de $N$.

Considera el conjunto $E$ de todos los números naturales $n$ tales que cuando $n$ se divide por $11, 12, 13$ respectivamente, los residuos, en ese orden, son números primos distintos en una progresión aritmética. Si $N$ es el número más grande en $E$, encuentra la suma de los dígitos de $N$.

Sea $AB$ un diámetro de un círculo y sea $C$ un punto en el segmento $AB$ tal que $AC : CB = 6 : 7$ . Sea $D$ un punto en el círculo tal que $DC$ es perpendicular a $AB$ . Sea $DE$ el diámetro que pasa por $D$ . Si $[XYZ]$ denota el área del triángulo $XYZ$ , encuentra $[ABD]/[CDE]$ al entero más cercano.