Sean $a,b,c$ tres enteros positivos distintos tales que la suma de dos cualesquiera de ellos es un cuadrado perfecto y que tienen la suma mínima $a + b + c$. Halla esta suma.

Un número de cinco dígitos $n= \overline{abcdc}$. Es tal que cuando se divide respectivamente por $2,3,4,5,6$ los restos son $a,b,c,d,c$. ¿Cuál es el resto cuando $n$ se divide por $100$?

Dos círculos $S_1$ y $S_2$, de radios $6$ unidades y $3$ unidades respectivamente, son tangentes entre sí, externamente. Sean $AC$ y $BD$ sus tangentes comunes directas con $A$ y $B$ en $S_1$, y $C$ y $D$ en $S_2$. Halla el área del cuadrilátero $ABDC$ al entero más cercano.

Halla el entero positivo más grande $N$ tal que el número de enteros en el conjunto $\{1,2,3,...,N\}$ que son divisibles por $3$ es igual al número de enteros que son divisibles por $5$ o $7$ (o ambos).

Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BAC = 90^o$ y $D$ sea el punto en el lado $BC$ tal que $AD \perp BC$. Sean $ r, r_1$ , y $r_2$ los inradios de los triángulos $ABC, ABD$ , y $ACD$, respectivamente. Si $r, r_1$ , y $r_2$ son enteros positivos y uno de ellos es $5$, halla el valor más grande posible de $r+r_1+ r_2$.

Sean $A = \{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, $B = \{9,10,11,12,13,14,15,16\}$ y $C =\{17,18,19,20,21,22,23,24\}$. Halla el número de ternas $(x, y, z)$ tales que $x \in A, y \in B, z \in C $ y $x + y + z = 36$.

Dos personas $A$ y $B$ comienzan desde el mismo lugar al mismo tiempo para viajar alrededor de una pista circular de longitud $100$ m en direcciones opuestas. Primero $B$ va más lento que $A$ hasta que se encuentran, luego, al duplicar su velocidad, se encuentra con $A$ en el punto de partida. Sea $d$ m la distancia recorrida por $B$ antes de encontrarse con $A$ por primera vez después de salir del punto de partida. Halla el entero más cercano a $d$.

Un papel semicircular se dobla a lo largo de una cuerda de modo que el arco circular doblado es tangente al diámetro del semicírculo. El radio del semicírculo es de $4$ unidades y el punto de tangencia divide el diámetro en la razón $7 :1$. Si la longitud del pliegue (el segmento de línea punteada en la figura) es $\ell$ entonces determina $\ell^2$.

Sean $D,E,F$ puntos en los lados $BC,CA,AB$ de un triángulo $ABC$, respectivamente. Supón que $AD, BE,CF$ concurren en $P$. Si $PF/PC =2/3, PE/PB = 2/7$ y $PD/PA = m/n$, donde $m, n$ son enteros positivos con $gcd(m, n) = 1$, halla $m + n$.

Dos lados de un polígono regular de $n$ lados cuando se extienden se encuentran a $28$ grados. ¿Cuál es el valor más pequeño posible de $n$?