Encuentra el número de permutaciones $( p_1, p_2, p_3 , p_4 , p_5 , p_6)$ de $1, 2 ,3,4,5,6$ tal que para cualquier $k, 1 \leq k \leq 5$ , $(p_1, \ldots, p_k)$ no forma una permutación de $1 , 2, \ldots, k$ .

Encuentra el residuo cuando $19^{92}$ se divide por 92.

Si $x , y, z \in \mathbb{R}$ tal que $x+y +z =4$ y $x^2 + y^2 +z^2 = 6$ , entonces demuestra que cada uno de $x, y, z$ se encuentra en el intervalo cerrado $\left[ \dfrac{2}{3} , 2 \right]$ . ¿Puede $x$ alcanzar el valor extremo $\dfrac{2}{3}$ o $2$ ?

En un triángulo $ABC$ , $\angle A = 2 \cdot \angle B$ . Demuestra que $a^2 = b (b+c)$ .

Para cualquier entero positivo $n$ , sea $s(n)$ denote el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$ . Determina el conjunto de enteros positivos para los cuales $s(n) = 5$

El triángulo $ABC$ tiene un incentro $I$ y su incírculo toca el lado $BC$ en $T$ . La línea que pasa por $T$ paralela a $IA$ se encuentra con el incírculo nuevamente en $S$ y la tangente al incírculo en $S$ se encuentra con $AB , AC$ en los puntos $C' , B'$ respectivamente. Demuestra que el triángulo $AB'C'$ es similar al triángulo $ABC$ .

Hay $10$ objetos de peso total $20$ , cada uno de los pesos siendo un entero positivo. Dado que ninguno de los pesos excede $10$ , demuestra que los diez objetos pueden ser divididos en dos grupos que se equilibren cuando se colocan en 2 bandejas de una balanza.

Resuelve el siguiente sistema para reales $x,y,z$ \n\[ \{ \begin{array}{ccc}\nx+ y -z & =& 4 \\\nx^2 - y^2 + z^2 & = & -4 \\\nxyz & =& 6. \n\end{array} \]

(i) Determina el conjunto de todos los enteros positivos $n$ para los cuales $3^{n+1}$ divide a $2^{3^n} + 1$ ; (ii) Demuestra que $3^{n+2}$ no divide a $2^{3^n} + 1$ para ningún entero positivo $n$ .

El triángulo $ABC$ tiene un incentro $I$ . Sean los puntos $X$ , $Y$ ubicados en los segmentos de línea $AB$ , $AC$ respectivamente, de modo que $BX \cdot AB = IB^2$ y $CY \cdot AC = IC^2$ . Dado que los puntos $X, I, Y$ se encuentran en una línea recta, encuentra los posibles valores de la medida del ángulo $A$ .