Considere un polígono convexo de $20$ lados $K$ , con vértices $A_1, A_2,...,A_{20}$ en ese orden. Encuentre el número de formas en que se pueden elegir tres lados de $K$ de modo que cada par entre ellos tenga al menos dos lados de $K$ entre ellos. (Por ejemplo, $(A_1A_2, A_4A_5, A_{11}A_{12})$ es una terna admisible mientras que $(A_1A_2, A_4A_5, A_{19}A_{20})$ no lo es.

Se elige un número natural $n$ estrictamente entre dos cuadrados perfectos consecutivos. El menor de estos dos cuadrados se obtiene restando $k$ de $n$ y el mayor sumando $l$ a $n.$ Demuestre que $n-kl$ es un cuadrado perfecto.

Sea $(a_1,a_2,a_3,...,a_{2011})$ una permutación de los números $1,2,3,...,2011$ . Demuestre que existen dos números $j,k$ tales que $1\leq{j}<k\leq2011$ y $|a_j-j|=|a_k-k|$

Sea $ABC$ un triángulo. Sean $D, E, F$ puntos en los segmentos $BC, CA, AB$ respectivamente tales que $AD, BE, CF$ concurren en el punto $K$ . Suponga que $\frac{BD}{DC} = \frac {BF}{FA}$ y $\angle ADB = \angle AFC$ . Demuestre que $\angle ABE = \angle CAD$ .

Determina todas las funciones $f : \mathbb{R} - [0,1] \to \mathbb{R}$ tales que \[ f(x) + f \left( \dfrac{1}{1-x} \right) = \dfrac{2(1-2x)}{x(1-x)} . \]

Sean $A_1, A_2, \ldots, A_n$ un polígono regular de $n$ lados. Si $\frac{1}{A_1 A_2} = \frac{1}{A_1 A_3} + \frac{1}{A_1A_4}$ , encuentra $n$ .

Determina todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos para los cuales $2^{m} + 3^{n}$ es un cuadrado perfecto.

Sea $n\geq 3$ un entero. Encuentra el número de formas en que uno puede colocar los números $1, 2, 3, \ldots, n^2$ en los $n^2$ cuadrados de un tablero de ajedrez de $n \times n$, uno en cada uno, tal que los números en cada fila y en cada columna estén en progresión aritmética.

Sea $f(x)$ un polinomio en $x$ con coeficientes enteros y suponga que para cinco enteros distintos $a_1, \ldots, a_5$ uno tiene $f(a_1) = f(a_2) = \ldots = f(a_5) = 2$ . Demuestra que no existe un entero $b$ tal que $f(b) = 9$ .

Dos círculos $C_1$ y $C_2$ se intersecan en dos puntos distintos $P, Q$ en un plano. Sea una línea que pasa por $P$ y que se encuentra con los círculos $C_1$ y $C_2$ en $A$ y $B$ respectivamente. Sea $Y$ el punto medio de $AB$ y sea $QY$ que se encuentra con los círculos $C_1$ y $C_2$ en $X$ y $Z$ respectivamente. Demuestra que $Y$ es también el punto medio de $XZ$ .