Suponga que $P(x)$ es un polinomio con coeficientes reales, que satisface la condición $P(\cos \theta+\sin \theta)=P(\cos \theta-\sin \theta)$, para cada $\theta$ real. Demuestre que $P(x)$ puede expresarse en la forma $$P(x)=a_0+a_1(1-x^2)^2+a_2(1-x^2)^4+\dots+a_n(1-x^2)^{2n}$$ para algunos números reales $a_0, a_1, \dots, a_n$ y un entero no negativo $n$.

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos de radios desiguales, con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente, que se intersecan en dos puntos distintos $A$ y $B$. Asuma que el centro de cada círculo está fuera del otro círculo. La tangente a $\Gamma_1$ en $B$ interseca a $\Gamma_2$ nuevamente en $C$, diferente de $B$; la tangente a $\Gamma_2$ en $B$ interseca a $\Gamma_1$ nuevamente en $D$, diferente de $B$. Las bisectrices de $\angle DAB$ y $\angle CAB$ se encuentran con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $X$ y $Y$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los circuncentros de los triángulos $ACD$ y $XAY$, respectivamente. Demuestre que $PQ$ es la bisectriz perpendicular del segmento de línea $O_1O_2$.

Encuentre la constante real más grande $\lambda$ tal que \[\frac{\lambda abc}{a+b+c}\leq (a+b)^2+(a+b+4c)^2\] Para todos los números reales positivos $a,b,c.$

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de $AB,BC,CD,DA$ respectivamente. Si $AC,BD,EG,FH$ concurren en un punto $O,$ demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo.

Encuentre el número de números de 4 dígitos con dígitos distintos elegidos del conjunto $\{0,1,2,3,4,5\}$ en los que no hay dos dígitos adyacentes que sean pares.

Sean $a,b,c>0.$ Si $\frac 1a,\frac 1b,\frac 1c$ están en progresión aritmética, y si $a^2+b^2,b^2+c^2,c^2+a^2$ están en progresión geométrica, demuestre que $a=b=c.$

Sea $n$ un entero positivo tal que $2n+1$ y $3n+1$ son ambos cuadrados perfectos. Demuestre que $5n+3$ es un número compuesto.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con circuncentro $O$ y ortocentro $H.$ Si $M$ es el punto medio de $BC,$ entonces demuestre que $AO$ y $HM$ se intersecan en la circunferencia circunscrita de $ABC.$

Encuentre todos los pares $(x,y)$ de números reales tales que \[16^{x^{2}+y} + 16^{x+y^{2}} = 1\]

Sea $ABC$ un triángulo y sean $BB_1,CC_1$ respectivamente las bisectrices de $\angle{B},\angle{C}$ con $B_1$ en $AC$ y $C_1$ en $AB$ , Sean $E,F$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ sobre $BB_1,CC_1$ respectivamente. Suponga que $D$ es el punto en el que la circunferencia inscrita de $ABC$ toca $AB$ . Demuestre que $AD=EF$