Sea $ABCD$ un cuadrado con lado de longitud $100$. Se dibuja un círculo con centro $C$ y radio $CD$. Se dibuja otro círculo de radio $r$, que se encuentra dentro de $ABCD$, para que toque este círculo externamente y de modo que el círculo también toque $AB$ y $AD$. Si $r=m+n\sqrt{k}$, donde $m,n$ son enteros y $k$ es un número primo, halla el valor de $\frac{m+n}k$.

Halla el número de enteros positivos $n$ tales que la mayor potencia de $7$ que divide a $n!$ es $8$.

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ y centro inscrito $I$. Si $AI=3$ y la distancia de $I$ a $BC$ es $2$, ¿cuál es el cuadrado de la longitud de $BC$?

Sita y Geeta son dos hermanas. Si la edad de Sita se escribe después de la edad de Geeta, se obtiene un cuadrado perfecto (número) de cuatro dígitos. Si el mismo ejercicio se repite después de 13 años, se obtendrá otro cuadrado perfecto (número) de cuatro dígitos. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de Sita y Geeta?

Si $ABCD$ es un rectángulo y $P$ es un punto dentro de él tal que $AP=33, BP=16, DP=63$. Halla $CP$.

Si $a,b,c$ son números reales y $(a+b-5)^2+(b+2c+3)^2+(c+3a-10)^2=0$ halla el entero más cercano a $a^3+b^3+c^3$.

Un stromino es un rectángulo de $3 \times 1$. Demuestre que un tablero de $5 \times 5$ dividido en veinticinco cuadrados de $1 \times 1$ no se puede cubrir con $16$ strominos de tal manera que cada stromino cubra exactamente tres cuadrados del tablero, y cada cuadrado esté cubierto por uno o dos strominos. (Un stromino se puede colocar horizontal o verticalmente en el tablero).

Se dibujan infinitas líneas paralelas equidistantes en el plano. Un entero positivo $n \geqslant 3$ se llama enmarcable si es posible dibujar un polígono regular con $n$ lados, todos cuyos vértices se encuentran en estas líneas, y ninguna línea contiene más de un vértice del polígono. (a) Demuestre que $3, 4, 6$ son enmarcables. (b) Demuestre que cualquier entero $n \geqslant 7$ no es enmarcable. (c) Determine si $5$ es enmarcable.

Sea $n \geqslant 2$ un entero y sean $1<a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n$, $n$ números reales tales que $a_1+a_2+\dots+a_n=2n$. Demuestre que $$a_1a_2\dots a_{n-1}+a_1a_2\dots a_{n-2}+\dots+a_1a_2+a_1+2 \leqslant a_1a_2\dots a_n.$$

Sea $S$ un subconjunto de $\{0,1,2,\dots ,9\}$. Suponga que existe un entero positivo $N$ tal que para cualquier entero $n>N$, se pueden encontrar enteros positivos $a,b$ tales que $n=a+b$ y todos los dígitos en las representaciones decimales de $a,b$ (expresados sin ceros iniciales) están en $S$. Encuentre el valor posible más pequeño de $|S|$.