Sean $a,b,c$ números reales con $0 < a< 1$ , $0 < b < 1$ , $0 < c < 1$ , y $a+b + c = 2$ . Demuestra que $\dfrac{a}{1-a} \cdot \dfrac{b}{1-b} \cdot \dfrac{c}{1-c} \geq 8$ .

Dado un triángulo $ABC$ sea \n\begin{eqnarray*} \nx &=& \tan\left(\dfrac{B-C}{2}\right) \tan \left(\dfrac{A}{2}\right) \\\ny &=& \tan\left(\dfrac{C-A}{2}\right) \tan \left(\dfrac{B}{2}\right) \\\nz &=& \tan\left(\dfrac{A-B}{2}\right) \tan \left(\dfrac{C}{2}\right). \n\end{eqnarray*} \nDemuestra que $x+ y + z + xyz = 0$ .

Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , sean los puntos $A' , B' , C'$ ubicados como sigue: $A'$ es el punto donde la altitud desde $A$ sobre $BC$ se encuentra con la semicircunferencia orientada hacia afuera sobre $BC$ como diámetro. Los puntos $B', C'$ se ubican de manera similar. Demuestra que $A[BCA']^2 + A[CAB']^2 + A[ABC']^2 = A[ABC]^2$ donde $A[ABC]$ es el área del triángulo $ABC$ .

Encuentra el número de enteros positivos $n$ para los cuales (i) $n \leq 1991$ ; (ii) 6 es un factor de $(n^2 + 3n +2)$ .

Sea $a$ un entero positivo que no es un cuadrado perfecto, y considera la ecuación \[k = \frac{x^2-a}{x^2-y^2}.\] Sea $A$ el conjunto de enteros positivos $k$ para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $x>\sqrt{a}$ , y sea $B$ el conjunto de enteros positivos para los cuales la ecuación admite una solución en $\mathbb Z^2$ con $0\leq x<\sqrt{a}$ . Demuestra que $A=B$ .

Para cada $n \ge 2$ define el polinomio $$f_n(x)=x^n-x^{n-1}-\dots-x-1.$$ Demuestra que (a) Para cada $n \ge 2$ , $f_n(x)=0$ tiene una única raíz real positiva $\alpha_n$ ; (b) $(\alpha_n)_n$ es una secuencia estrictamente creciente; (c) $\lim_{n \rightarrow \infty} \alpha_n=2.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ . La línea perpendicular a $BI$ en $I$ se encuentra con $BA$ y $BC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Sean $D, E$ los incentros de $\triangle BIA$ y $\triangle BIC$ respectivamente. Supón que $D,P,Q,E$ se encuentran en un círculo. Demuestra que $AB=BC$ .

Demuestra que para cualquier entero positivo $a$ y $b$ tenemos $$a+(-1)^b \sum^a_{m=0} (-1)^{\lfloor{\frac{bm}{a}\rfloor}} \equiv b+(-1)^a \sum^b_{n=0} (-1)^{\lfloor{\frac{an}{b}\rfloor}} \pmod{4}.$$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC \neq BC$ y sea $I$ su incentro. La línea $BI$ se encuentra con $AC$ en $D$ , y la línea que pasa por $D$ perpendicular a $AC$ se encuentra con $AI$ en $E$ . Demuestra que la reflexión de $I$ en $AC$ se encuentra en la circunferencia del triángulo $BDE$ .

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales todos los divisores positivos de $n$ se pueden colocar en las celdas de una tabla rectangular bajo las siguientes restricciones: cada celda contiene un divisor distinto; las sumas de todas las filas son iguales; y las sumas de todas las columnas son iguales.