Sean $B = (-1, 0)$ y $C = (1, 0)$ puntos fijos en el plano coordenado. Se dice que un subconjunto no vacío y acotado $S$ del plano es bueno si $\text{(i)}$ hay un punto $T$ en $S$ tal que para cada punto $Q$ en $S$ , el segmento $TQ$ se encuentra completamente en $S$ ; y $\text{(ii)}$ para cualquier triángulo $P_1P_2P_3$ , existe un único punto $A$ en $S$ y una permutación $\sigma$ de los índices $\{1, 2, 3\}$ para el cual los triángulos $ABC$ y $P_{\sigma(1)}P_{\sigma(2)}P_{\sigma(3)}$ son similares. Demuestra que existen dos subconjuntos agradables distintos $S$ y $S'$ del conjunto $\{(x, y) : x \geq 0, y \geq 0\}$ tales que si $A \in S$ y $A' \in S'$ son las únicas opciones de puntos en $\text{(ii)}$ , entonces el producto $BA \cdot BA'$ es una constante independiente del triángulo $P_1P_2P_3$ .

Sea $n$ un entero positivo relativamente primo con $6$ . Pintamos los vértices de un $n$ - gono regular con tres colores de modo que haya un número impar de vértices de cada color. Demuestra que existe un triángulo isósceles cuyos tres vértices son de diferentes colores.

Supón que $f,g \in \mathbb{R}[x]$ son polinomios no constantes. Supón que ninguno de $f,g$ es el cuadrado de un polinomio real pero $f(g(x))$ lo es. Demuestra que $g(f(x))$ no es el cuadrado de un polinomio real.

Sea $n \ge 1$ un entero positivo. Una matriz de $n \times n$ se llama buena si cada entrada es un entero no negativo, la suma de las entradas en cada fila y cada columna es igual. Una matriz de permutación es una matriz de $n \times n$ que consta de $n$ unos y $n(n-1)$ ceros tal que cada fila y cada columna tiene exactamente una entrada no cero. Demuestra que cualquier matriz buena es una suma de finitamente muchas matrices de permutación.

Define una secuencia de enteros $a_0=m, a_1=n$ y $a_{k+1}=4a_k-5a_{k-1}$ para todo $k \ge 1$ . Supón que $p>5$ es un primo con $p \equiv 1 \pmod{4}$ . Demuestra que es posible elegir $m,n$ tal que $p \nmid a_k$ para cualquier $k \ge 0$ .

Sean $a,b,c$ números reales positivos distintos con $abc=1$ . Demuestra que $$\sum_{\text{cyc}} \frac{a^6}{(a-b)(a-c)}>15.$$

Hay $n$ lámparas $L_1, L_2, \dots, L_n$ dispuestas en un círculo en ese orden. En cualquier momento dado, cada lámpara está encendida o apagada. Cada segundo, cada lámpara experimenta un cambio según la siguiente regla: (a) Para cada lámpara $L_i$ , si $L_{i-1}, L_i, L_{i+1}$ tienen el mismo estado en el segundo anterior, entonces $L_i$ está apagada ahora mismo. (Índices tomados mod $n$ . ) (b) De lo contrario, $L_i$ está encendida ahora mismo. Inicialmente, todas las lámparas están apagadas, excepto $L_1$ que está encendida. Demuestra que para infinitos enteros $n$ todas las lámparas se apagarán eventualmente, después de una cantidad finita de tiempo.

Sean $a,b,c,d$ enteros positivos distintos por parejas tales que $$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}$$ es un entero. Demuestra que $a+b+c+d$ no es un número primo.

En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $D$ y $E$ se encuentran en el lado $BC$ con $BD<BE$ . Sean $O_1, O_2, O_3, O_4, O_5, O_6$ los circuncentros de los triángulos $ABD, ADE, AEC, ABE, ADC, ABC$ , respectivamente. Demuestra que $O_1, O_3, O_4, O_5$ son concíclicos si y solo si $A, O_2, O_6$ son colineales.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $\Omega$ con $AC \perp BD$ . Sea $P=AC \cap BD$ y $W,X,Y,Z$ las proyecciones de $P$ en las líneas $AB, BC, CD, DA$ respectivamente. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los lados $AB, BC, CD, DA$ respectivamente. (a) Demuestra que $E,F,G,H,W,X,Y,Z$ son concíclicos. (b) Si $R$ es el radio de $\Omega$ y $d$ es la distancia entre su centro y $P$ , entonces encuentra el radio del círculo en (a) en términos de $R$ y $d$ .