Nina y Tadashi juegan el siguiente juego. Inicialmente, una tripleta $(a, b, c)$ de enteros no negativos con $a+b+c=2021$ está escrita en una pizarra. Nina y Tadashi luego hacen movimientos por turnos, con Nina primero. Un jugador que realiza un movimiento elige un entero positivo $k$ y una de las tres entradas en el tablero; luego el jugador aumenta la entrada elegida en $k$ y disminuye las otras dos entradas en $k$ . Un jugador pierde si, en su turno, alguna entrada en el tablero se vuelve negativa. Encuentra el número de tripletas iniciales $(a, b, c)$ para las cuales Tadashi tiene una estrategia ganadora.

Una función $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos se llama canadiense si satisface $$\gcd\left(f(f(x)), f(x+y)\right)=\gcd(x, y)$$ para todos los pares de enteros positivos $x$ e $y$ . Encuentra todos los enteros positivos $m$ tales que $f(m)=m$ para todas las funciones canadienses $f$ .

En una cena hay $N$ anfitriones y $N$ invitados, sentados alrededor de una mesa circular, donde $N\geq 4$ . Un par de dos invitados conversarán entre sí si hay como máximo una persona sentada entre ellos o si hay exactamente dos personas entre ellos, al menos una de las cuales es un anfitrión. Demuestra que no importa cómo estén sentadas las $2N$ personas en la cena, al menos $N$ pares de invitados conversarán entre sí.

Sea $n\geq 2$ un entero positivo fijo y suponga que $a_1, a_2,\dots,a_n$ son números reales positivos que satisfacen $a_1+a_2+\cdots+a_n=2^n-1$ . Encuentra el valor mínimo posible de $$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{1+a_1}+\frac{a_3}{1+a_1+a_2}+\cdots+\frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}$$

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$ , $|AB|>|CD|$ , y lados iguales $|AD|=|BC|$ . Sea $I$ el centro del círculo tangente a las líneas $AB$ , $AC$ y $BD$ , donde $A$ e $I$ están en lados opuestos de $BD$ . Sea $J$ el centro del círculo tangente a las líneas $CD$ , $AC$ y $BD$ , donde $D$ y $J$ están en lados opuestos de $AC$ . Demuestra que $|IC|=|JB|$ .

Las alturas de un tetraedro $ABCD$ se extienden externamente a los puntos $A'$ , $B'$ , $C'$ , y $D'$ , donde $AA' = k/h_a$ , $BB' = k/h_b$ , $CC' = k/h_c$ , y $DD' = k/h_d$ . Aquí, $k$ es una constante y $h_a$ denota la longitud de la altura de $ABCD$ desde el vértice $A$ , etc. Prueba que el centroide del tetraedro $A'B'C'D'$ coincide con el centroide de $ABCD$ .

Sea $p$ una permutación del conjunto $S_n = \{1, 2, \dots, n\}$ . Un elemento $j \in S_n$ se llama punto fijo de $p$ si $p(j) = j$ . Sea $f_n$ el número de permutaciones que no tienen puntos fijos, y $g_n$ el número con exactamente un punto fijo. Muestra que $|f_n - g_n| = 1$ .

Sea $\mathbb{R}^n$ el espacio euclidiano de dimensión $n$ . Determina el número más pequeño $g(n)$ de puntos de un conjunto en $\mathbb{R}^n$ tal que cada punto en $\mathbb{R}^n$ está a una distancia irracional de al menos un punto en ese conjunto.

Si $a$ , $b$ y $c$ son las raíces de la ecuación $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$ , (i) muestra que $a$ , $b$ y $c$ son distintas: (ii) muestra que \n\[\frac{a^{1982} - b^{1982}}{a - b} + \frac{b^{1982} - c^{1982}}{b - c} + \frac{c^{1982} - a^{1982}}{c - a}\]\nes un entero.

En el diagrama, $OB_i$ es paralelo e igual en longitud a $A_i A_{i + 1}$ para $i = 1$ , 2, 3, y 4 ( $A_5 = A_1$ ) . Muestra que el área de $B_1 B_2 B_3 B_4$ es el doble del área de $A_1 A_2 A_3 A_4$ . [asy]\nunitsize(1 cm);\n\npair O;\npair[] A, B;\n\nO = (0,0);\nA[1] = (0.5,-3);\nA[2] = (2,0);\nA[3] = (-0.2,0.5);\nA[4] = (-1,0);\nB[1] = A[2] - A[1];\nB[2] = A[3] - A[2];\nB[3] = A[4] - A[3];\nB[4] = A[1] - A[4];\n\ndraw(A[1]--A[2]--A[3]--A[4]--cycle);\ndraw(B[1]--B[2]--B[3]--B[4]--cycle);\ndraw(O--B[1]);\ndraw(O--B[2]);\ndraw(O--B[3]);\ndraw(O--B[4]);\n\nlabel('$A_1$', A[1], S);\nlabel('$A_2$', A[2], E);\nlabel('$A_3$', A[3], N);\nlabel('$A_4$', A[4], W);\nlabel('$B_1$', B[1], NE);\nlabel('$B_2$', B[2], W);\nlabel('$B_3$', B[3], SW);\nlabel('$B_4$', B[4], S);\nlabel('$O$', O, E);\n[/asy]