Sea $ABC$ un triángulo equilátero. En el arco menor $AB{}$ de su circumcírculo $\Omega$ , considera el punto $N{}$ tal que el arco menor $NB$ mide $30^\circ{}$ . Las perpendiculares desde $N{}$ a $AC$ y $AB$ intersecan $\Omega$ de nuevo en $P{}$ y $Q{}$ respectivamente. Sean $H_1,H_2$ y $H_3$ los ortocentros de los triángulos $NAB, QBC$ y $CAP$ respectivamente. Demuestra que el triángulo $NPQ$ es equilátero. Demuestra que el triángulo $H_1H_2H_3$ es equilátero.

Determina todos los números reales $x{}$ que satisfacen $2^{x-1}+2^{1/\sqrt{x}}=3$ .

Determina todas las funciones estrictamente crecientes $f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ que satisfacen \[f(x)\cdot f(y)\mid (1+2x)\cdot f(y)+(1+2y)\cdot f(x)\] para todos los enteros no negativos $x{}$ e $y{}$ .

Sean $x,y{}$ y $z{}$ números reales positivos que satisfacen $x+y+z=1$ . Demuestra que \[1-\frac{x^2-yz}{x^2+x}=\frac{(1-y)(1-z)}{x^2+x};\] \[\frac{x^2-yz}{x^2+x}+\frac{y^2-zx}{y^2+y}+\frac{z^2-xy}{z^2+z}\leqslant 0.\]

Determina todos los números reales $x{}$ que satisfacen $\lfloor x\rfloor^2-x=-0.99$ . Demuestra que si $a\leqslant -1$ , la ecuación $\lfloor x\rfloor^2-x=a$ no tiene soluciones reales.

Considera el triángulo $ABC{}$ y sea $I_A{}$ su $A{}$ - excentro. Sean $M,N$ y $P{}$ las proyecciones de $I_A{}$ sobre las rectas $AC,BC{}$ y $AB{}$ respectivamente. Demuestra que si $\overrightarrow{I_AM}+\overrightarrow{I_AP}=\overrightarrow{I_AN}$ entonces $ABC{}$ es un triángulo equilátero.

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow [0,1] $ una función no decreciente. Pruebe que la secuencia $$ \left( \int_0^1 \frac{1+f^n(x)}{1+f^{1+n} (x)} \right)_{n\ge 1} $$ es convergente y calcule su límite.

Sea un grupo $ G $ de orden $ 1+p, $ donde $ p $ es un primo impar. Muestre que si $ p $ divide al número de automorfismos de $ G, $ entonces $ p\equiv 3\pmod 4. $

Sea $ f:\mathbb{R}\longrightarrow (0,\infty ) $ una función continua y periódica que tiene un período de $ 2, $ y tal que la integral $ \int_0^2 \frac{f(1+x)}{f(x)} dx $ existe. Muestre que $$ \int_0^2 \frac{f(1+x)}{f(x)} dx\ge 2, $$ con igualdad si y sólo si $ 1 $ también es un período de $ f. $

Un anillo $ A $ tiene la propiedad (P), si $ A $ es finito y existe $ (\{ 0\}\neq R,+)\le (A,+) $ tal que $ (U(A),\cdot )\cong (R,+) . $ Muestre que: a) Si un anillo tiene la propiedad (P), entonces el número de sus elementos es par. b) Hay infinitos anillos de orden distinto que tienen la propiedad (P).