Sea $ n$ un entero, $ n\geq 2$ . Encuentra todos los conjuntos $ A$ con $ n$ elementos enteros tales que la suma de cualquier subconjunto no vacío de $ A$ no es divisible por $ n+1$ .

Dado un entero $n\geq 2,$ coloree de rojo exactamente $n$ celdas de una hoja infinita de papel cuadriculado. Una matriz de cuadrícula rectangular se llama especial si contiene al menos dos celdas rojas en las esquinas opuestas; las celdas rojas individuales y las matrices de cuadrícula de 1 fila o 1 columna cuyas celdas finales son ambas rojas son especiales. Dada una configuración de exactamente $n$ celdas rojas, sea $N$ el número más grande de celdas rojas que puede contener una matriz de cuadrícula rectangular especial. Determine el valor mínimo que puede tomar $N$ sobre todas las configuraciones posibles de exactamente $n$ celdas rojas

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<BC$ . Sea $I$ el incentro de $ABC$ , y sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de $ABC$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente al lado $BC$ en $K$ . La línea $AK$ se encuentra con $\omega$ nuevamente en $T$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ , y sea $N$ el punto medio del arco $BAC$ de $\omega$ . El segmento $NT$ interseca la circunferencia circunscrita de $BIC$ en $P$ . Demuestre que $PM\parallel AK$ .

Determine el valor más grande que puede alcanzar la expresión $$ \sum_{1\le i<j\le 4} \left( x_i+x_j \right)\sqrt{x_ix_j} $$ , cuando $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ recorren los números reales no negativos, y suman $ 1. $ Encuentre también los valores específicos de estos números que hacen que la suma anterior alcance el máximo solicitado.

Alice y Bob juegan el siguiente juego. Para empezar, Alice organiza los números $1,2,\ldots,n$ en algún orden en una fila y luego Bob elige uno de los números y coloca una piedra sobre él. El turno de un jugador consiste en recoger y colocar la piedra en un número adyacente bajo la restricción de que la piedra se puede colocar en el número $k$ a lo sumo $k$ veces. Los dos jugadores se turnan comenzando con Alice. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Para cada entero positivo $n$ , determine quién tiene una estrategia ganadora.

Encuentre todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que $m^6 = n^{n+1} + n -1$ .

Sean $ I,O $ el incentro, respectivamente, el circuncentro de un triángulo $ ABC. $ El $ A\text{-excircle} $ toca las líneas $ AB,AC,BC $ en $ K,L, $ respectivamente, $ M. $ El punto medio de $ KL $ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ ABC. $ Demuestre que los puntos $ I,M,O $ son colineales.

Para un número natural $ n, $ una cadena $ s $ de $ n $ dígitos binarios y un número natural $ k\le n, $ defina un $ n,s,k$ -bloque como una cadena de $ k $ elementos consecutivos de $ s. $ Decimos que dos $ n,s,k\text{-bloques} , $ a saber, $ a_1a_2\ldots a_k,b_1b_2\ldots b_k, $ son incompatibles si existe un $ i\in\{1,2,\ldots ,k\} $ tal que $ a_i\neq b_i. $ Además, para dos números naturales $ r\le n, l, $ decimos que $ s $ es $ r,l $ -tipado si hay, a lo sumo, $ l $ $ n,s,r\text{-bloques} $ por pares incompatibles. Sea una cadena $ 3,7\text{-tipada} $ $ t $ que consta de $ 10000 $ dígitos binarios. Determine el número máximo $ M $ que satisface la condición de que $ t $ es $ 10,M\text{-tipado} . $

Determine todas las funciones $f$ desde el conjunto de enteros no negativos a sí mismo tales que $f(a + b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d)$ , siempre que $a, b, c, d$ , sean enteros no negativos que satisfacen $2ab = c^2 + d^2$ .

Sea $ A_1A_2A_3$ un triángulo no isósceles con incentro $ I.$ Sea $ C_i,$ $ i = 1, 2, 3,$ el círculo más pequeño que pasa por $ I$ tangente a $ A_iA_{i+1}$ y $ A_iA_{i+2}$ (la suma de índices es módulo 3). Sea $ B_i, i = 1, 2, 3,$ el segundo punto de intersección de $ C_{i+1}$ y $ C_{i+2}.$ Demuestre que los circuncentros de los triángulos $ A_1 B_1I,A_2B_2I,A_3B_3I$ son colineales.