Demostrar que para cada partición de $ \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ en dos subconjuntos, uno de los subconjuntos contiene tres números tales que la suma de dos de ellos es igual al doble del tercero.

Sea $P(X,Y)=X^2+2aXY+Y^2$ un polinomio real donde $|a|\geq 1$ . Para un entero positivo dado $n$ , $n\geq 2$ considere el sistema de ecuaciones:\n\[ P(x_1,x_2) = P(x_2,x_3) = \ldots = P(x_{n-1},x_n) = P(x_n,x_1) = 0 . \]\nLlamamos a dos soluciones $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ del sistema equivalentes si existe un número real $\lambda \neq 0$ , $x_1=\lambda y_1$ , $\ldots$ , $x_n= \lambda y_n$ . ¿Cuántas soluciones no equivalentes tiene el sistema?

Sean $a,b,c$ números enteros tales que $(a+b+c) \mid (a^{2}+b^{2}+c^{2})$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $(a+b+c) \mid (a^{n}+b^{n}+c^{n})$ .

Demuestre que para todos los números reales $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ tenemos\n\[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij \cos {(\alpha_i - \alpha_j )} \geq 0. \]

Sea $ABCD$ un cuadrado y $a$ la longitud de sus lados. Los segmentos $AE$ y $CF$ son perpendiculares al plano del cuadrado en el mismo semi-espacio y tienen la longitud $AE=a$ , $CF=b$ donde $a<b<a\sqrt 3$ . Si $K$ denota el conjunto de los puntos interiores del cuadrado $ABCD$ determine $\min_{M\in K} \left( \max ( EM, FM ) \right) $ y $\max_{M\in K} \left( \min (EM,FM) \right)$ .

Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide a $3^n - 2^n$ .

El plano está cubierto con una red de hexágonos regulares congruentes y disjuntos. Demuestre que no puede existir un cuadrado que tenga sus cuatro vértices en los vértices de los hexágonos.

Sea $A$ el conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ , $n\geq 2$ . Encuentre el menor número $n$ para el cual existen permutaciones $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ del conjunto $A$ con la propiedad:\n\[ \sum_{i=1}^n \alpha(i) \beta (i) = \dfrac {19}{10} \sum^n_{i=1} \gamma(i)\delta(i) . \]

Sea $ P(X) = a_{n}X^{n} + a_{n - 1}X^{n - 1} + \ldots + a_{1}X + a_{0}$ un polinomio real de grado $ n$ . Suponga que $ n$ es un número par y:\na) $ a_{0} > 0$ , $ a_{n} > 0$ ;\nb) $ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \ldots + a_{n - 1}^{2}\leq\frac {4\min(a_{0}^{2} , a_{n}^{2})}{n - 1}$ .\nDemuestre que $ P(x)\geq 0$ para todos los valores reales $ x$ .

Sea $A$ el conjunto $A = \{ 1,2, \ldots, n\}$ . Determina el número máximo de elementos de un subconjunto $B\subset A$ tal que para todos los elementos $x,y$ de $B$ , $x+y$ no puede ser divisible por $x-y$ .